ŁS  1982

OSIKA     (2)

z Pikiera 10

        

W zakończeniu odcinka poprzedniego zaznaczyłem, że istnieją znacznie doskonalsze me­to­dy punktowania honorów niż chociażby popularne miltony. Obecnie metodę taką (w zasadzie równie prostą jak skala 4–3–2–1) zaprezentuję:

        

            Równania Honorowe

       

Przyjmijmy (dla ustalenia uwagi), że bilansu honorowego dokonują partnerzy WE, i załóżmy (dla tymczasowego uproszczenia), że układy są najzupełniej przeciętne (4333).

       

W jednym kolorze jednemu z partnerów może się zdarzyć jedna z poniższych konfiguracji ho­norowych ( N = NIC czyli same blotki):

   

 

 

AK

AKD

 

 

N

 

AD

AKW

        N = brak honoru (same blotki)

 

 

A

AW

ADW

 

 

 

K

KD

KDW

 

 

 

D

KW

 

 

 

 

W

DW

 

 

Każda z powyższych 15–stu konfiguracyj ma oczywiście pewną wartość w Lewach Hono­ro­wych. Pytanie tylko – jak te wartości wyznaczyć?

Otóż powinny być one takie, aby:

 

to co liczy gracz W

plus

to co liczy gracz E

 

 

dawało w sumie

 

 

 

 

 

 

ilość LH posiadaną w tym kolorze przez obu partnerów łącznie

 

 

Inaczej mówiąc – powinien być spełniony następujący układ równań:

Gracz W

 

Gracz E

 

Łączna ilość LH

Wszystkich tych równań jest  40, czyli znacznie więcej niż 15 niewiadomych 

(tj konfiguracji honorowych).

Algebra mówi, że w takim przypadku (więcej równań niż niewiadomych) układ jest naogół sprzeczny (tj nie posiada rozwiązania).

Tak jest niestety i w naszym przypadku, o czym możemy się przekonać rozpatrując cho­ciażby już pierwsze cztery równania.

N

+

N

=

0

A

+

N

=

1

N

+

K

=

1 / 2

A

+

K

=

2

KW

+

N

=

1

AW

+

K

=

2 1 / 2

AD

+

K

=

3

...itd itp    

Co wobec tego zrobić?

           

         Rozwiązanie !

Skoro układ jest  sprzeczny, musimy (typowa dla brydża rezygnacja) zadowolić się rozwią­za­niem przybliżonym – tzn dopuszczającym pewne (rzecz jasna, jak najmniejsze!) rozbież­no­ści między lewymi a prawymi stronami równań.
Dodatkowo (dla uproszczenia obliczeń) ograniczmy się do rozwiązania zaokrąglonego – przy­jmijmy że ćwiartka lewy będzie najmniejszą ilością LH jaką będziemy rozpoznawać.

   Po dwóch godzinach elementarnych kalkulacji otrzymamy trzy, niemal równorzędne, roz­wią­zania zaokrąglone.

   A oto rozwiązanie najprostsze:

 

A = 4

 

 

Wartości podane są w ćwiartkach (lewy) !

 

K = 3

HH

= +2

 

D = 2

HHH

= +3

 

W = 0

 

 

Zapisy  HH=+2  HH=+3  oznaczają, że za asocjację dwóch–trzech honorów w kolorze na­le­ży dodać dodatkowo (tzn oprócz tego co liczymy za każdy honor z osobna):

2 ćwiartki – za dwuhonorową
3 ćwiartki – za trzyhonorową

Na przykład:

KD = 3 + 2 + 2 = 7 ćwiartek = 2– LH                    – oznacza niedobór ćwiartki
AW = 4 + 0 + 2 = 6 ćwiartek = 1++ LH
AKD = 4 + 3 + 2 + 3 = 12 ćwiartek = 3 LH
ADW = 4 + 2 + 0 + 3 = 9 ćwiartek = 2+ LH          + oznacza nadwyżkę ćwiartki

 

         Błędy

Ponieważ rozwiązanie powyższe jest przybliżone, niektóre równania obarczone są pewnym błę­dem: dodatnim – jeśli rachunek wskazuje więcej LH niż jest ich naprawdę (lewa strona więk­sza od prawej), ujemnym – w przeciwnym wypadku.

A oto zestawienie statystyczne (w ćwiartkach):

 

błąd

ilość

równań

Jak widać ilość równań bezbłędnych jest znaczna, a w pozostałych
 (z wyjątkiem: AD + N = 1 1/2) błąd nie przekracza ćwierci lewy.

 

–1

10

 

0

17

 

+1

12

 

+2

1

          

         Redukcja błędów

W rozdaniu brydżowym mają zastosowanie cztery równania honorowe jednocześnie – po jednym w każdym kolorze.

Istnienie błędów dodatnich i ujemnych (i to w niemalże równych ilościach) stwarza więc do­datkową szansę: – chociaż w poszczególnych kolorach będą błędy, to jednak zredukują się wzajemnie i błąd łączny (dla całego rozdania) będzie równy zeru.
Na przykład:

 

jakie ma każdy honory i ile za nie liczy

 

liczą

 

mają

 

 

 

 

 

W

 

E

 

razem

 

razem

 

błąd

 

 

piki

0

x x x

 

D W x x

4

 

4

 

3

 

+1

 

 

kiery

9

A K x

 

x x x

0

 

9

 

8

 

+1

 

 

kara

3

K x x

 

A D x

8

 

11

 

12

 

1

 

 

trefle

3

K x x x

 

A x x

4

 

7

 

8

 

1

 

 

 

 

 

 

razem

 

31

 

31

 

  0 !

 

 

             

         Dziesiątka i Dziewiątka

Wartość konfiguracyj zawierających 10 lub 9 można obliczyć układając i rozwiązując po­moc­niczy układ równań honorowych.

A oto przykład obliczenia wartości D109:

 

D109   +   N

=

2

 

skąd:   D109 = 2

Optymalna wartość jaką należy przyjąć dla D109 wynosi więc 3.

 

Wykonanie reszty obliczeń tego typu pozostawiam Czytelnikowi jako ćwiczenie.

D109   +  W

=

4

 

skąd:   D109 = 4

D109   +  K

=

6

 

skąd:   D109 = 3

D109   +  A

=

7

 

skąd:   D109 = 3

D109   +  KW

=

8

 

skąd:   D109 = 3

D109   +  AW

=

10

 

skąd:   D109 = 3

D109   +  AK

=

12

 

skąd:   D109 = 3

D109   +  AKW

=

12

 

skąd:   D109 = 2

       

         Honory krótkie

Honory singlowe bądź dublowe mają z reguły wartość niższą.

Obliczmy dla przykładu wartość singlowego Króla:

 

K   +   N

=

0

 

skąd:   K = 0

Należy więc przyjąć 2, pamiętając przy tym, że dyspersja jest  tym razem znacznie większa.

 

Ćwiczenie:
Obliczyć resztę konfiguracyj.

K   +  W

=

0

 

skąd:   K = 0

K   +  D

=

4

 

skąd:   K = 2

K   +  A

=

8

 

skąd:   K = 2

K   +  DW

=

8

 

skąd:   K = 2

K   +  AW

=

8

 

skąd:   K = 2

K   +  AD

=

12

 

skąd:   K = 2

K   +  ADW

=

12

 

skąd:   K = 2

                     

         Historykalia

To co podałem w niniejszym odcinku Osiki nie jest bezprecedensowe, bowiem podejście poprzez układ równań honorowych wymyślił Pierre Collet już w roku 1963 (bądź wcześniej), z tym że znalazł on tylko jedno rozwiązanie zaokrąglone, mianowicie:

 

A = 4

N

= –1  !

  Trzecie rozwiązanie różni się od niniejszego tym że:

A = 5

 

K = 3

 

 

 

D = 2

HH

= +2

 

W = 0

HHH

= +4

Dopisek XI 2018

Zgrubna statystyka tych trzech rozwiązań jest podana na końcu tego pliku – jak widać z jej punktu widzenia są one jednakowo dobre.

Rozwiązanie które podaliśmy jest prostsze w stosowaniu z uwagi na brak ujemnej punktacji –1 oraz ma łatwiejszą mnemonikę.

Rozwiązania uzyskano przez minimalizację maxymalnego błędu w równaniach. Okazuje się że nie można go zmniejszyć bardziej niż ca 0,4 lewy.

Można również minimalizować sumę kwadratów błędów jak również badać i znajdować skale addytywne (tj bez dodatków za asocjację honorów).

Pikier przeprowadzał najróżniejsze obliczenia w wyniku których doszedł do wniosku że zalecana tu najprostsza metoda jest całkowicie zadowalająca.

Niniejszy artykuł opublikowano także w „Świecie Brydża” – 2 / 1991.    

11 VII 2011  Wstawka tylko dla pasjonatów: Uwagi i ciekawostki o punktowaniu honorów

 

Ciąg dalszy  uwaga! koniecznie zajrzeć, bo są w nim jeszcze inne poprawki – nawet ważniejsze

 

do Telimeny

Co nowego... 

do Spisu

 

 

 

 

 

 

błąd w ćwiartkach

sumoiloczyny (błąd x freq)

freq

W

E

realnie

Pikier

Collet

Trzecie

Pikier

Collet

Trzecie

120

N

N

0

0

–2

–2

 

240

240

210*2

A

N

4

0

–1

0

 

420

 

K

N

2

1

0

0

420

 

 

D

N

1

1

0

0

420

 

 

W

N

0

0

–1

–1

 

420

420

252*2

AK

N

8

1

0

0

504

 

 

AD

N

6

2

1

1

1008 

504

504

AW

N

5

1

0

0

504

 

 

KD

N

6

1

0

0

504

 

 

KW

N

4

1

0

0

504

 

 

DW

N

3

1

0

0

504

 

 

210*2

AKD

N

12

0

0

0

 

 

 

AKW

N

10

0

0

0

 

 

 

ADW

N

10

–1

–1

–1

420

420

420

KDW

N

8

0

0

0

 

 

 

252*2

A

K

8

–1

–1

0

504

504

 

A

D

6

0

0

1

 

 

504

A

W

4

0

0

1

 

 

504

K

D

4

1

1

1

504

504

504

K

W

3

0

0

0

 

 

 

D

W

2

0

0

0

 

 

 

210*2

AK

D

12

–1

–1

–1

420

420

420

 

W

8

1

1

1

420

420

420

AD

K

12

–1

–1

–1

420

420

420

 

W

8

0

0

0

 

 

 

AW

K

10

–1

–1

–1

420

420

420

 

D

8

0

0

0

 

 

 

KD

A

12

–1

–1

0

420

420

 

 

W

8

–1

–1

–1

420

420

420

KW

A

10

–1

–1

0

420

420

 

 

D

8

–1

–1

–1

420

420

420

DW

A

8

0

0

1

 

 

420

 

K

8

–1

–1

–1

420

420

420

120*2

AK

DW

12+

1

1

1

240

240

240

AD

KW

12+

1

1

1

240

240

240

AW

KD

12+

1

1

1

240

240

240

120*2

AKD

W

12+

0

1

1

 

240

240

AKW

D

12+

0

1

1

 

240

240

ADW

K

12+

0

1

1

 

240

240

KDW

A

12+

0

1

2

 

240

480

 

 

 

 

 

 

–2

  1

–2

 1

 

 

 

 

 

–1

10

–1

12

–1

  8

 

 

 

 

 

0

17

0

17

0

18

 

 

 

 

 

+1

 12

+1

 10

+1

 12

 

 

 

 

 

+2

 1

 

 

+2

  1

 

 

 

błąd średni

0,600

0.600

0,600

10 296

8 472

8 376

 

 

skośność

+4

–4

+4

powyżej są sumy sumoiloczynów

freq = ilość kombinacji dla 6 kart w kolorze + ilość kombinacji dla 7 kart w kolorze

 

Frekwencja wg łącznej ilości honorów:

typ

freq

Pikier

Collet

 

 

 

 

 

0 – 0

120

0

–2

 

 

 

 

 

H – 0

1680

0,5

–0,5

 

 

 

 

 

H – H

3024

0

0

 

 

 

 

 

HH – 0

3024

1

0

 

 

 

 

 

HH – H

5040

–1

–1

 

 

 

 

 

HH – HH

1296

1

1

 

 

 

 

 

HHH – 0

1680

0

0

 

 

 

 

 

HHH – H

720

0

1

 

 

 

 

 

 

Po przyjęciu 12+ = 13

 

 

 

Pikier

Collet

Trzecie

AK

DW

12+

0

0

0

AD

KW

12+

0

0

0

AW

KD

12+

0

0

0

AKD

W

12+

–1

0

0

AKW

D

12+

–1

0

0

ADW

K

12+

–1

0

0

KDW

A

12+

–1

0

1

 

 

 

 

 

–2

 1

–2

1

 

 

 

–1

14

–1

12

–1

8

 

 

 

0

16

0

24

0

24

 

 

 

+1 

    9

+1

 3

+1

7

 

 

 

+2

 1

 

 

 

 

 

błąd średni

0,625

0,425

0,425

 

skośność

–3

–11

–3

 

 

 

 

 

Można jeszcze rozważać równanie 41 (freq = 120*2): 

Pikier:   AKDW = 13  (dobra mnemonika, bo +4)

Inne:  AKDW = 14

Dojdzie jeden błąd = 0