ŁS |
Punktowanie rozdania |
4
X 2006 |
Po ciężkiej pracy nad edyktem
"Constitutio Antoniniana" (nadającym w roku
Wprowadzenie
Pojedynek brydżowy składa się z serii rozdań
granych przez dwie pary: NS, WE (nazwy czterech graczy są skrótami czterech
kierunków świata).
Zapis (brydżowy) to ilość punktów
przyznawana w rozdaniu jednej z par (NS bądź WE) za wygranie kontraktu
własnego bądź „obłożenie” kontraktu przeciwników.
Zapis nie zależy od wyników rozdań
poprzednich – każde rozdanie jest punktowane z osobna !
Im wyższy
kontrakt – tym rzadziej zdarza się możliwość jego wylicytowania i
wygrania – a zatem tym większa (z odwrotną proporcjonalnością) powinna
być premia za jego wygranie. Niestety – w obecnie panującym Zapisie
zasada ta jest spełniona w stopniu wysoce niezadowalającym:
.
premie za wygranie przydzielone są
niejednostajnie (np za wygranie 2♠
bądź 3♠ otrzymuje się tyle samo
co za 1♠, a za 5♠ tyle co za 4♠
– relikt dawniej panującego stylu robrowego).
.
premie silnie zależą od „koloru”
kontraktu (np za 4§ otrzymuje się znacznie
mniej niż za 4ª
– relikt „kolorów szczęśliwych”
z gier karcianych) – mimo iż ani los ani reguły rozgrywki brydżowej
nie uprzywilejowują w najmniejszym stopniu jakiegokolwiek „koloru”.
Powyższe wady Zapisu mają
silnie negatywny wpływ na styl gry w licytacji. Przejście
na poniższy Zapis Fibonacciego byłoby dla
brydża bardzo korzystne:
Wysokość kontraktu |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Nadróbki po 50 |
Premia za wygranie |
100 |
200 |
300 |
500 |
800 |
1300 |
2100 |
W licytacji nie ma kontr ani rekontr. Kary za
kolejne wpadki wymierzane są również
wg powyższej tabeli (bez jednej = 100, bez dwóch
= 300 (100+200), bez trzech = 600 itd).
Kwestia:
1) Wyznaczyć optymalny zapis brydżowy.
Źródła: Bez kontr
Brydż porównawczy
Im krótszy
pojedynek – tym większa szansa, że jedna z par zostanie obdarzona przez
los kartami „silniejszymi”, i w efekcie wygra pojedynek nawet przy
grze znacznie gorszej. Aby tego uniknąć, gra się to samo rozdanie na wielu
stołach, a następnie porównuje wyniki.
Najprostsza sprawiedliwa metoda
wyceniania uzyskanych w rozdaniu zapisów to
Porównywanie „Do
Średniej”:
|
Zapisy |
Salda |
Zapisy – zapisy dla NS
zwyczajowo traktuje się jako dodatnie +400 = średnia zapisów (średni zapis) Salda – każdej parze przydziela się jej odchylenie
od średniej: para NS[1] wygrywa 400, bo tyle zdobyła ponad średnią; para WE[2] traci 200, bo tyle jej zabrakło do
średniej; itd. |
||
Stół |
NS |
WE |
NS |
WE |
|
1 |
800 |
|
+400 |
–400 |
|
2 |
600 |
|
+200 |
–200 |
|
3 |
|
200 |
–600 |
+600 |
|
|
+400 |
|
Spłaszczanie
Duże saldo w
jednym rozdaniu (np 1500, 2000) powoduje wypaczenie dalszej gry w turnieju.
Zwycięzca ma już bowiem zapewnione niezłe miejsce (więc zagra asekurancko), a
przegrany niską lokatę (więc zagra hazardowo, „na odbitkę”).
Ponadto duże saldo częściej jest powodowane niemal czystym przypadkiem, jako
że w brydżu (nawet porównawczym) jest mimo wszystko duży stopień losowości.
Zaradza się temu przez progresywne zmniejszanie bezwzględnych sald wg Wzoru Karakalli:
|
1000 × Saldo |
|
Saldo
50 zmaleje do 48; 200 – do 167, 400 – do 286, 600 – do 375,
4000 do 800. Jest to więc silnie progresywne
zmniejszanie do przedziału [0,1000]. |
|
1000 + Saldo |
|
Nazwa „Wzór Karakalli” wywodzi się z fikcyjnej anegdoty, w której został on zaproponowany.
W powszechnym użyciu jest natomiast spłaszczanie bardziej „sztuczne” – salda zmniejsza się (wg specjalnej tabeli – bo wzoru nie podano) do liczb całkowitych z przedziału [0,24], a nowe jednostki nazywa się punktami meczowymi (bądź impami – od international match points). Różni się to od spłaszczania Karakalli niemal jedynie skalą (wystarczy w liczniku wstawić 30 zamiast 1000); jest natomiast jest mniej wyraziste, bo wprowadza nową, sztuczną jednostkę.
Kwestie:
2) |
Czy można uzasadnić
sensowność i stopień spłaszczania ? |
3) |
Wzór Karakalli
można zinterpretować jako taryfę podatkową. Czy istnieje teoria takich taryf
? |
4) |
Jaka jest
matematyczna zasada konstrukcyjna impów ? (informacji o tym nie udało się znaleźć!) |
5) |
Czy jest możliwe wbudowanie spłaszczania
już w sam zapis brydżowy ? |
Źródło: Termy Karakallli
Porównywanie „Do Pozostałych”:
To druga sprawiedliwa metoda
wyceniania uzyskanych w rozdaniu zapisów:
|
Zapisy |
Salda |
Parze
przydziela się średnią jej spłaszczonych przewag nad pozostałymi
parami grającymi na tej samej linii (tj NS bądź WE): NS[2] zdobyła 200 mniej niż NS[1] – po spłaszczeniu –167 NS[2] zdobyła 800 więcej niż NS[3] – po spłaszczeniu +444 Zatem saldo NS[2] wynosi +139 ( (–167+444) / 2 ) |
||
Stół |
NS |
WE |
NS |
WE |
|
1 |
800 |
|
+417 |
–417 |
|
2 |
600 |
|
+139 |
–139 |
|
3 |
|
200 |
–556 |
+556 |
Łatwo
sprawdzić że bez spłaszczania zachodzi:
{saldo Do Pozostałych} = {saldo Do Średniej} x {ilość stołów} / ( {ilość stołów} –1 )
co oznacza,
że gdyby w ogóle nie stosować spłaszczania, to obie metody różniłyby się
jedynie skalą, a zatem nie miałoby sensu stosowanie bardziej zawikłanej metody
Do Pozostałych. Analogicznie byłoby,
gdyby w metodzie Do Pozostałych brać nie „średnią spłaszczonych przewag” lecz
„spłaszczoną średnią przewag”, bo wówczas wystarczyłoby
przeskalować salda przed spłaszczeniem, a salda ostateczne (tj spłaszczone)
wyszłyby w obu metodach identyczne.
Zbadajmy
zatem, jaką rolę pełni branie „średniej spłaszczonych przewag” ?
Opłacalność
|
Wiadomo, że tyle wynosi minimum prawdopodobieństwa sukcesu, aby opłacało się podjąć decyzję która przyniesie nam Z zysku, przy grożącym S straty w razie porażki. Jak widać, zależy ono wyłącznie od stosunku zysku do straty. |
Nie ulega
wątpliwości, iż takie prawdopodobieństwa nie powinny zależeć od tego „jak zagra sala”, tj na ilu stołach
gracze podejmą decyzję analogiczną. Nie po to gra się w brydża
wielostolikowego, aby zgadywać co będzie na innych stołach, lecz po to aby gra
była punktowana sprawiedliwiej.
Rozważmy najprostszy przypadek – kiedy na
każdym stole rozstrzygany jest ten sam jest dylemat – czy poprzestać (w
sytuacji po partii) na pewnych 2ba, czy zaryzykować niepewne 3ba ?
Oto salda w metodzie
„Do Średniej” – przed spłaszczeniem:
|
9 lew |
8 lew |
S8 = średnia kiedy jest 8 lew, S9 = średnia kiedy jest 9 lew Zysk z 3ba jeśli jest 9 lew = (600–S9) – (150–S9) = 450 Strata z 3ba jeśli jest 8 lew = (120–S8) – (–100–S8)) = 220 |
3ba |
600 – S9 |
–100 – S8 |
|
2ba |
150 – S9 |
120 – S8 |
Jak widać – bez względu
na to na ilu stołach zdecydowano się na 3ba
– Zysk i Strata są stałe
– a zatem minimum opłacalności dla 3ba również jest stałe (w tym przykładzie = 32.84%). Zmieni się to jednak
kiedy salda w tabeli poddamy spłaszczeniu (jako że funkcja spłaszczająca nie
jest addytywna) – i minimum opłacalności zależeć będzie od średnich S9
S8, które z kolei zależą od ilości stołów na których wybrano 3ba (próby wykazują że zmienność względna dochodzi tutaj do
10%).
|
9 lew |
8 lew |
W = ilość stołów na których wybrano 3ba ( Wyższy kontrakt ) N = ilość stołów na których wybrano 2ba ( Niższy kontrakt ) s( ) = funkcja spłaszczającą (Karakalla bądź impy – do wyboru! ) |
3ba |
N • s(450) |
N • s(–220) |
|
2ba |
W • s(–450) |
W • s(220) |
Dla przejrzystości podaliśmy sumy spłaszczonych przewag, nie średnie.
Zysk z 3ba jeśli jest 9 lew = N • s(450) – W • s(–450) = s(450) • (N + W)
Strata z 3ba jeśli jest 8
lew = W • s(220) – N •
s(–220) = s(220) • (N + W)
Zatem minimum opłacalności dla 3ba nie zależy od ilości stołów na
których wybrano 3ba.
Nie zależy
również od kształtu funkcji spłaszczającej – może być dowolna !
Wniosek: Metoda „Do Pozostałych”
jest lepsza.
Ponadto jest dla graczy bardziej wyrazista (bo
porównuje zapis do zapisów pozostałych, a nie do „abstrakcyjnej”
średniej), i wygodniejsza w przypadku brydża na dwóch stołach (będącego
pojedynkiem dwóch drużyn 4–osobowych – b.popularne), bo nie trzeba
liczyć średniej.
Dopisek 30 IV 2013
Ponadto w metodzie
"Do średniej" sumy spłaszczonych wyników dla linii NS WE często nie
są zerowe, co powoduje nieznaczne acz dostrzegalne uprzywilejowanie grających
na linii z sumą dodatnią.
Kwestia:
6) |
Zaprezentowany
dowód stabilności prawdopodobieństw obejmował jedynie sytuację najprostszą.
Należałoby zbadać jak będzie w sytuacjach bardziej złożonych (więcej decyzji
do wyboru). |
Ujednolicanie czyli Napoleonki (napki)
Jeśli rozdanie jest
„płaskie” (tzn „widać” że salda będą w nim małe), można
bez ryzyka większej straty podczas gry
„przysypiać”; jeśli jest „obrotowe” (tzn
„widać” że salda będą duże) – wręcz przeciwnie:
należy zagrać je uważnie i
starannie. A oto sposób zmniejszania tej dysproporcji:
Należy obliczyć dyspersję
każdego rozdania (stosowną miarą jest odchylenie standardowe), a następnie
przeskalować salda każdego rozdania z osobna, tak aby dyspersje
rozdań zostały (w mniejszym bądź większym stopniu) ujednolicone.
Ustalmy:
p =
przeciętna dyspersja sald
– ze wszystkich rozdań brydżowych !
s =
stara dyspersja sald –
ta wyliczona z uzyskanych w danym rozdaniu zapisów
n =
nowa dyspersja sald – ta którą chcemy w tymże
rozdaniu uzyskać.
i zrealizujmy ujednolicanie
poprzez „przybliżanie” dyspersji rozdania do dyspersji przeciętnej (p)
przy
pomocy Wzoru Napoleona (nazwa
z fikcyjnej anegdoty która ten sposób zaprezentowała):
n = |
|
gdzie u = stopień ujednolicalności rozdań ( liczba z przedziału [0,1]) ) Im
większy – tym silniej rozdania zostaną ujednolicone. |
A oto porównanie nowych sald dwóch rozdań (z
próbki 3000 rozdań otrzymano p = 200):
|
Zapisy |
u = 0 |
u = 1 / 2 |
u = 3 / 4 |
u = 1 |
|||||
Stół |
płaskie |
obrotowe |
płaskie |
obrotowe |
płaskie |
obrotowe |
płaskie |
obrotowe |
płaskie |
obrotowe |
1 |
+120 |
+1430 |
+24 |
+498 |
+66 |
+373 |
+111 |
+321 |
+185 |
+278 |
2 |
+110 |
+660 |
+15 |
+12 |
+42 |
+9 |
+69 |
+8 |
+115 |
+7 |
3 |
+50 |
+650 |
–43 |
+3 |
–119 |
+2 |
–198 |
+2 |
–331 |
+2 |
4 |
+100 |
–200 |
+5 |
–514 |
+14 |
–385 |
+23 |
–332 |
+38 |
–287 |
|
dyspersje = |
±26 |
±358 |
±72 |
±268 |
±120 |
±231 |
±200 |
±200 |
Wartość u można wybrać wg upodobania (ostrożnie rozsądna wydaje się
1/2).
Salda wyliczone są metodą „Do
Pozostałych”, zatem – bez względu na u – minima opłacalności są takie same.
Kwestie:
7) |
Jak
uzasadnić Wzór Napoleona ? (powstał w wyniku spekulacji matematycznej) |
8) |
Czy można wskazać
optymalny stopień ujednolicalności ? |
9) |
Czy stopień
ujednolicalności należy uzależnić od ilości stołów? |
Źródło: Napoleonki
Maxowanie
Metoda „Do
Pozostałych” – z tym że przewagi nad pozostałymi stołami spłaszcza
się b.specyficznie – mianowicie każdą niezerową (bez względu na jej
wielkość!) zmienia się na 1. Tak więc salda z rozdania są liczbami z
przedziału [0,1], co pozwala wyrazić je w dobrze percepowalnych %%.
Zrównanie wszystkich
przewag jest oczywiście jaskrawo sprzeczne z ideą gry na punkty; mimo to metoda
ta jest b.popularna – prawdopodobnie atrakcyjna jest jej losowość (sic!)
i... przyzwyczajenie.
Nie ulega wątpliwości, że
maxowanie powinno być zastąpione Maxymalnym Ujednolicaniem (u=1).
Średnia kalkulowana
Niesprawiedliwość
brydża granego na jednym stole można w znacznym stopniu zredukować oszacowując
średni zapis jaki byłby w rozdaniu, gdyby rozegrano je na wielu stołach. Rzecz
jasna średnia jest (statystycznie) po stronie pary, która otrzymała karty
silniejsze. Oto mnemoniczne przybliżenie takiego oszacowania (z dodanym
drobnym uwzględnieniem siły układowej):
Każda para oblicza siłę swoich rąk: honorową – w tzw miltonach (A=4 K=3 D=2 W=1); układową
– ze wzoru: (suma kart w kolorze najdłuższym +
suma kart w najkrótszym) –13. Jeśli łącznie wyjdzie więcej niż
20 takich punktów, średnia w rozdaniu jest po stronie tej pary i liczy się
ją następująco: za
każdy punkt ponad 20 – 50 przed partią, 60 po partii za
każdy punkt ponad 30 – dwakroć więcej. |
Proste i
łatwe do zapamiętania. Przy brydżu na jednym stole należy to stosować zawsze !
Kwestie:
10) |
Opracować
metodę jak najdokładniejszego wyznaczania średniej programem komputerowym. |
11) |
Znaleźć
oszacowanie średniej dla brydża granego Zapisem Fibonacciego. |
Źródło: Zapis Miltonowy
Pierwsza
wersja niniejszego artykułu
4 X 2006 |
|||||
brydż, brydz, bridge, brydż sportowy, brydz
sportowy, bridge sportowy, Pikier, Sławiński, Slawinski, Łukasz Sławiński,
Lukasz Slawinski, |
|||||