ŁS

Punktowanie rozdania

4 X 2006

Po ciężkiej pracy nad edyktem "Constitutio Antoniniana" (nadającym w roku 964 A.U.C.          

Wprowadzenie

Pojedynek brydżowy składa się z serii rozdań granych przez dwie pary: NS, WE (nazwy czterech gra­czy są skrótami czterech kierunków świata).

Zapis (brydżowy) to ilość punktów przyznawana w rozdaniu jednej z par (NS bądź WE) za wygranie kon­traktu własnego bądź „obłożenie” kontraktu przeciwników.

Zapis nie zależy od wyników rozdań poprzednich – każde rozdanie jest punktowane z osobna !

(dawniej było inaczej – panował tzw styl robrowy – który obecnie (i słusznie!) jest w zaniku).

Im wyższy kontrakt – tym rzadziej zdarza się możliwość jego wylicytowania i wygrania – a zatem tym większa (z odwrotną proporcjonalnością) powinna być premia za jego wygranie. Niestety – w obec­nie panującym Zapisie zasada ta jest spełniona w stopniu wysoce niezadowalającym:

·        premie za wygranie przydzielone są niejednostajnie (np za wygranie 2ª bądź 3ª otrzymuje się tyle samo co za 1ª, a za 5ª tyle co za 4ªrelikt dawniej panującego stylu robrowego).

·        premie silnie zależą od „koloru” kontraktu (np za 4§ otrzymuje się znacznie mniej niż za 4ªre­likt „kolorów szczęśliwych” z gier karcianych) – mimo iż ani los ani reguły rozgrywki bry­dżowej nie uprzywilejowują w najmniejszym stopniu jakiegokolwiek „koloru”.

Powyższe wady Zapisu mają silnie negatywny wpływ na styl gry w licytacji. Prze­jście na poniższy Zapis Fibonacciego byłoby dla brydża bardzo korzystne:

Wysokość kontraktu 

1

2

3

4

5

6

7

Nadróbki po 50

Premia za wygranie 

100

200

300

500

800

1300

2100

W licytacji nie ma kontr ani rekontr. Kary za kolejne wpadki wymierzane są również

wg powyższej tabeli (bez jednej = 100, bez dwóch = 300 (100+200), bez trzech = 600 itd).

Kwestia:

1) Wyznaczyć optymalny zapis brydżowy.

Źródła:   Bez kontr

  Starszeństwo kolorów 

Brydż porównawczy

Im krótszy pojedynek – tym większa szansa, że jedna z par zostanie obdarzona przez los kartami „silniejszymi”, i w efekcie wygra pojedynek nawet przy grze znacznie gorszej. Aby tego uniknąć, gra się to samo rozdanie na wielu stołach, a następnie porównuje wyniki.

Najprostsza sprawiedliwa me­toda wyceniania uzyskanych w rozdaniu zapisów to

Porównywanie „Do Średniej”:

 

Zapisy

Salda

Zapisy – zapisy dla NS zwyczajowo traktuje się jako dodatnie

+400 = średnia zapisów (średni zapis)

Salda – każdej parze przydziela się jej odchylenie od średniej:

para NS[1] wygrywa 400, bo tyle zdobyła ponad średnią;

para WE[2] traci 200, bo tyle jej zabrakło do średniej;  itd.

Stół

NS

WE

NS

WE

1

800

 

+400

–400

2

600

 

+200

–200

3

 

200

–600

+600

 

+400

 

Spłaszczanie

Duże saldo w jednym rozdaniu (np 1500, 2000) powo­duje wypaczenie dalszej gry w turnieju. Zwy­cięzca ma już bowiem zapewnione niezłe miejsce (więc za­gra asekurancko), a przegrany niską lokatę (więc zagra hazardowo, „na odbitkę”). Ponadto duże saldo częściej jest powodowane niemal czy­stym przypadkiem, jako że w brydżu (nawet porównawczym) jest mimo wszystko duży stopień lo­so­wości. Zaradza się temu przez progresywne zmniejszanie bezwzględnych sald wg Wzoru Karakalli: 

 

1000 × Saldo

 

Saldo 50 zmaleje do 48; 200 – do 167, 400 – do 286, 600 – do 375, 4000 do 800.

Jest to więc silnie progresywne zmniejszanie do przedziału [0,1000].

 

1000 + Saldo

 

Nazwa „Wzór Karakalli” wywodzi się z fikcyjnej anegdoty, w której został on zaproponowany.

W powszechnym użyciu jest natomiast spłaszczanie bardziej „sztuczne” – salda zmniejsza się (wg specjalnej tabeli – bo wzoru nie podano) do liczb całkowitych z przedziału [0,24], a nowe jed­no­st­ki na­zywa się punktami meczowymi (bądź impami – od international match points). Róż­ni się to od spłaszczania Karakalli niemal jedynie skalą (wystarczy w liczniku wsta­wić 30 zamiast 1000); jest natomiast jest mniej wyraziste, bo wprowadza nową, sztuczną jednostkę.

Kwestie:

2)

Czy można uzasadnić sensowność i stopień spłaszczania ?

3)

Wzór Karakalli można zinterpretować jako taryfę podatkową. Czy istnieje teoria takich taryf ?

4)

Jaka jest matematyczna zasada konstrukcyjna impów ? (informacji o tym nie udało się znaleźć!)

5)

Czy jest możliwe wbudowanie spłaszczania już w sam zapis brydżowy ?

Źródło: Termy Karakallli

Porównywanie „Do Pozostałych”:

To druga sprawiedliwa me­toda wyceniania uzyskanych w rozdaniu zapisów:

 

Zapisy

Salda

Parze przydziela się średnią jej spłaszczonych prze­wag nad po­zo­sta­łymi parami grającymi na tej samej linii (tj NS bądź WE):

NS[2] zdobyła 200 mniej niż NS[1] – po spłaszczeniu –167

NS[2] zdobyła 800 więcej niż NS[3] – po spłaszczeniu +444

Zatem saldo NS[2] wynosi +139  ( (–167+444) / 2 )

Stół

NS

WE

NS

WE

1

800

 

+417

–417

2

600

 

+139

–139

3

 

200

–556

+556

Łatwo sprawdzić że bez spłaszczania zachodzi:

{saldo Do Pozostałych} = {saldo Do Średniej} x {ilość stołów} / ( {ilość stołów} –1 )

co oznacza, że gdyby w ogóle nie stosować spłaszczania, to obie metody różniłyby się jedynie skalą, a za­tem nie miałoby sensu stosowanie bardziej zawikłanej metody Do Pozostałych. Analogicznie  by­ło­by, gdyby w metodzie Do Pozostałych brać nie „średnią spłaszczonych przewag” lecz „spłasz­czo­ną śred­nią przewag”, bo wówczas wystarczyłoby przeskalować salda przed spłaszczeniem, a salda osta­teczne (tj spłaszczone) wyszłyby w obu metodach identyczne.

Zbadajmy zatem, jaką rolę pełni branie „średniej spłaszczonych przewag” ?

Opłacalność

1

1 +

Z

S

Wiadomo, że tyle wynosi minimum prawdopodobień­stwa sukcesu, aby opłacało się pod­jąć decyzję która przyniesie nam Z zysku, przy grożącym S straty w razie po­rażki.

          Jak widać, zależy ono wyłącznie od stosunku zysku do straty.

Nie ulega wątpliwości, iż takie prawdopodobieństwa nie powinny zależeć od te­go „jak za­gra sala”, tj na ilu stołach gracze podejmą decyzję analogiczną. Nie po to gra się w brydża wielostolikowego, aby zgadywać co będzie na innych stołach, lecz po to aby gra była punktowana sprawiedliwiej.

Rozważmy najprostszy przypadek – kiedy na każdym stole rozstrzygany jest ten sam jest dylemat – czy poprzestać (w sytuacji po partii) na pewnych 2ba, czy zaryzykować niepewne 3ba ?

Oto salda w metodzie „Do Średniej” – przed spłaszczeniem: 

 

9 lew

8 lew

S8 = średnia kiedy jest 8 lew,  S9 = średnia kiedy jest 9 lew

Zysk z 3ba jeśli jest 9 lew = (600–S9) – (150–S9) = 450

Strata z 3ba jeśli jest 8 lew = (120–S8) – (–100–S8)) = 220

3ba

600 – S9

–100 – S8

2ba

150 – S9

120 – S8

Jak widać – bez względu na to na ilu stołach zdecydowano się na 3ba    Zysk i Strata są stałe – a za­tem minimum opłacalności dla 3ba również jest stałe (w tym przykładzie = 32.84%). Zmieni się to jed­nak kie­dy salda w tabeli poddamy spłaszczeniu (jako że funkcja spłaszczająca nie jest ad­dytywna) – i mi­ni­mum opłacalności zależeć będzie od średnich S9 S8, które z kolei zależą od ilości sto­łów na któ­rych wybrano 3ba (próby wykazują że zmienność względna dochodzi tutaj do 10%).

A teraz salda w metodzie „Do Pozostałych”:

 

9 lew

8 lew

W = ilość stołów na których wybrano 3ba ( Wyższy kontrakt )

N = ilość stołów na których wybrano 2ba  ( Niższy kontrakt )

s( ) = funkcja spłaszczającą (Karakalla bądź impy – do wyboru! )

3ba 

N s(450)

N s(–220)

2ba 

W s(–450)

W s(220)

Dla przejrzystości podaliśmy sumy spłaszczonych przewag, nie średnie.

Zysk z 3ba jeśli jest 9 lew = N s(450) –  W s(–450) = s(450) (N + W)

Strata z 3ba jeśli jest 8 lew = W s(220) – N s(–220) = s(220) (N + W)

Zatem minimum opłacalności dla 3ba nie zależy od ilości stołów na których wybrano 3ba.

Nie zależy również od kształtu funkcji spłaszczającej – może być dowolna !

Wniosek:  Metoda „Do Pozostałych” jest lepsza.

Ponadto jest dla graczy bardziej wyrazista (bo porównuje zapis do zapisów pozosta­łych, a nie do „abstrakcyjnej” średniej), i wygodniejsza w przypadku brydża na dwóch stołach (będącego pojedynkiem dwóch drużyn 4–osobowych – b.popularne), bo nie trzeba liczyć średniej.

Dopisek 30 IV 2013

Ponadto w metodzie "Do średniej" sumy spłaszczonych wyników dla linii NS WE często nie są zerowe, co powoduje nieznaczne acz dostrzegalne uprzywilejowanie grających na linii z sumą dodatnią.

Kwestia:

6)

Zaprezentowany dowód stabilności prawdopodobieństw obejmował jedynie sytuację naj­pro­st­szą. Należałoby zbadać jak będzie w sytuacjach bardziej złożonych (więcej decyzji do wyboru).

Ujednolicanie

Jeśli rozdanie jest „płaskie” (tzn „widać” że salda będą w nim małe), można bez ryzyka większej stra­ty podczas gry „przysypiać”; jeśli jest „obrotowe” (tzn „widać” że salda będą duże) – wręcz prze­ciw­nie: na­leży zagrać je uważnie i starannie. A oto sposób zmniejszania tej dysproporcji:

Należy obliczyć dyspersję każdego rozdania (stosowną miarą jest odchylenie standardowe), a na­stęp­nie przeskalować salda każdego rozdania z osobna, tak aby dys­persje rozdań zostały (w mniej­szym bądź większym stopniu) ujednolicone.

Ustalmy:

p = przeciętna dyspersja sald – ze wszystkich rozdań brydżowych !

s = stara dyspersja sald   ta wyliczona z uzyskanych w danym rozdaniu zapisów

n = nowa dyspersja sald – ta którą chcemy w tymże rozdaniu uzyskać.

i zrealizujmy ujednolicanie poprzez „przybliżanie” dyspersji rozdania do dyspersji przeciętnej (p)

przy pomocy Wzoru Napoleona (nazwa z fikcyjnej anegdoty która ten sposób zaprezentowała):

n =

s

(

p

)

u

s

 

gdzie   u = stopień ujednolicalności rozdań ( liczba z przedziału [0,1]) )

Im większy – tym silniej rozdania zostaną ujednolicone.

A oto porównanie nowych sald dwóch rozdań (z próbki 3000 rozdań otrzymano p = 200):

 

Zapisy

u = 0

u = 1 / 2

u = 3 / 4

u = 1

Stół

płaskie

obrotowe

płaskie

obrotowe

płaskie

obrotowe

płaskie

obrotowe

płaskie

obrotowe

1

+120

+1430

+24

+498

+66

+373

+111

+321

+185

+278

2

+110

+660

+15

+12

+42

+9

+69

+8

+115

+7

3

+50

+650

–43

+3

–119

+2

–198

+2

–331

+2

4

+100

–200

+5

–514

+14

–385

+23

–332

+38

–287

 

dyspersje =

±26

±358

±72

±268

±120

±231

±200

±200

Wartość u można wybrać wg upodobania (ostrożnie rozsądna wydaje się 1/2).

Salda wyliczone są metodą „Do Pozostałych”, zatem – bez względu na u – minima opłacalności są takie same.

Kwestie:

7)

Jak uzasadnić Wzór Napoleona ? (powstał w wyniku spekulacji matematycznej)

8)

Czy można wskazać optymalny stopień ujednolicalności ?

9)

Czy stopień ujednolicalności należy uzależnić od ilości stołów?

Źródło: Napoleonki

Maxowanie

Metoda „Do Pozostałych” – z tym że przewagi nad pozostałymi stołami spłaszcza się b.specyficznie – miano­wicie każdą niezerową (bez względu na jej wielkość!) zmienia się na 1. Tak więc salda z roz­da­nia są liczbami z przedziału [0,1], co pozwala wyrazić je w dobrze percepowalnych %%.

Zrównanie wszystkich przewag jest oczywiście jaskrawo sprzeczne z ideą gry na punkty; mimo to me­to­da ta jest b.popularna – prawdopodobnie atrakcyjna jest jej losowość (sic!) i... przyzwyczajenie.

Nie ulega wątpliwości, że maxowanie powinno być zastąpione Maxymalnym Ujednolicaniem (u=1).

O szkodliwości maxizmu   

Średnia kalkulowana

Niesprawiedliwość brydża granego na jednym stole można w znacznym stopniu zredukować osza­co­wując średni zapis jaki byłby w rozdaniu, gdyby rozegrano je na wielu stołach. Rzecz jasna śred­nia jest (statystycznie) po stronie pary, która otrzymała karty silniejsze. Oto mnemoniczne przy­bli­że­nie takiego osza­co­wania (z dodanym drobnym uwzględnieniem siły układowej):

Każda para oblicza siłę swoich rąk: honorową – w tzw miltonach (A=4 K=3 D=2 W=1); układową – ze wzoru: (suma kart w kolorze najdłuższym + suma kart w najkrótszym) –13. Jeśli łącznie wyjdzie więcej niż 20 takich punktów, średnia w rozdaniu jest po stronie tej pary i li­czy się ją nastę­pu­ją­co:

za każdy punkt ponad 20 – 50 przed partią, 60 po partii

za każdy punkt ponad 30 – dwakroć więcej.

Proste i łatwe do zapamiętania. Przy brydżu na jednym stole należy to stosować zawsze !

Kwestie:

10)

Opracować metodę jak najdokładniejszego wyznaczania średniej programem komputerowym.

11)

Znaleźć oszacowanie średniej dla brydża granego Zapisem Fibonacciego.

Źródło: Zapis Miltonowy

 

Punktowanie pojedynku

 

Pierwsza wersja niniejszego artykułu

Matematyka

Innowacje

Co nowego... 

do Spisu

4 X 2006

redakcja@pikier.com

© Pikier.com

brydż, brydz, bridge, brydż sportowy, brydz sportowy, bridge sportowy, Pikier, Sławiński, Slawinski, Łukasz Sławiński, Lukasz Slawinski,