ŁS

Punktowanie rozdania

4 X 2006

Po ciężkiej pracy nad edyktem "Constitutio Antoniniana" (nadającym w roku 964 A.U.C.

Wprowadzenie

Pojedynek brydżowy składa się z serii rozdań granych przez dwie pary: NS, WE (nazwy czterech graczy są skrótami czterech kierunków świata).

Zapis (brydżowy) to ilość punktów przyznawana w rozdaniu jednej z par (NS bądź WE) za wygranie kontraktu własnego bądź „obłożenie” kontraktu przeciwników.

Zapis nie zależy od wyników rozdań poprzednich – każde rozdanie jest punktowane z osobna !

(dawniej było inaczej – panował tzw styl robrowy – który obecnie (i słusznie!) jest w zaniku).

Im wyższy kontrakt – tym rzadziej zdarza się możliwość jego wylicytowania i wygrania – a zatem tym większa (z odwrotną proporcjonalnością) powinna być premia za jego wygranie. Niestety – w obecnie panującym Zapisie zasada ta jest spełniona w stopniu wysoce niezadowalającym:

· premie za wygranie przydzielone są niejednostajnie (np za wygranie 2ª bądź 3ª otrzymuje się tyle samo co za 1ª, a za 5ª tyle co za 4ª – relikt dawniej panującego stylu robrowego).

· premie silnie zależą od „koloru” kontraktu (np za 4§ otrzymuje się znacznie mniej niż za 4ª – relikt „kolorów szczęśliwych” z gier karcianych) – mimo iż ani los ani reguły rozgrywki brydżowej nie uprzywilejowują w najmniejszym stopniu jakiegokolwiek „koloru”.

Powyższe wady Zapisu mają silnie negatywny wpływ na styl gry w licytacji. Przejście na poniższy Zapis Fibonacciego byłoby dla brydża bardzo korzystne:

Wysokość kontraktu	1	2	3	4	5	6	7	Nadróbki po 50
Premia za wygranie	100	200	300	500	800	1300	2100

W licytacji nie ma kontr ani rekontr. Kary za kolejne wpadki wymierzane są również

wg powyższej tabeli (bez jednej = 100, bez dwóch = 300 (100+200), bez trzech = 600 itd).

Kwestia:

1) Wyznaczyć optymalny zapis brydżowy.

Źródła: Bez kontr Starszeństwo kolorów

Brydż porównawczy

Im krótszy pojedynek – tym większa szansa, że jedna z par zostanie obdarzona przez los kartami „silniejszymi”, i w efekcie wygra pojedynek nawet przy grze znacznie gorszej. Aby tego uniknąć, gra się to samo rozdanie na wielu stołach, a następnie porównuje wyniki.

Najprostsza sprawiedliwa metoda wyceniania uzyskanych w rozdaniu zapisów to

Porównywanie „Do Średniej”:

	Zapisy		Salda		Zapisy – zapisy dla NS zwyczajowo traktuje się jako dodatnie +400 = średnia zapisów (średni zapis) Salda – każdej parze przydziela się jej odchylenie od średniej: para NS[1] wygrywa 400, bo tyle zdobyła ponad średnią; para WE[2] traci 200, bo tyle jej zabrakło do średniej; itd.
Stół	NS	WE	NS	WE
1	800		+400	–400
2	600		+200	–200
3		200	–600	+600
	+400

Spłaszczanie

Duże saldo w jednym rozdaniu (np 1500, 2000) powoduje wypaczenie dalszej gry w turnieju. Zwycięzca ma już bowiem zapewnione niezłe miejsce (więc zagra asekurancko), a przegrany niską lokatę (więc zagra hazardowo, „na odbitkę”). Ponadto duże saldo częściej jest powodowane niemal czystym przypadkiem, jako że w brydżu (nawet porównawczym) jest mimo wszystko duży stopień losowości. Zaradza się temu przez progresywne zmniejszanie bezwzględnych sald wg Wzoru Karakalli:

1000 × Saldo	Saldo 50 zmaleje do 48; 200 – do 167, 400 – do 286, 600 – do 375, 4000 do 800. Jest to więc silnie progresywne zmniejszanie do przedziału [0,1000].
1000 + Saldo

Nazwa „Wzór Karakalli” wywodzi się z fikcyjnej anegdoty, w której został on zaproponowany.

W powszechnym użyciu jest natomiast spłaszczanie bardziej „sztuczne” – salda zmniejsza się (wg specjalnej tabeli – bo wzoru nie podano) do liczb całkowitych z przedziału [0,24], a nowe jednostki nazywa się punktami meczowymi (bądź impami – od international match points). Różni się to od spłaszczania Karakalli niemal jedynie skalą (wystarczy w liczniku wstawić 30 zamiast 1000); jest natomiast jest mniej wyraziste, bo wprowadza nową, sztuczną jednostkę.

Kwestie:

2)	Czy można uzasadnić sensowność i stopień spłaszczania ?
3)	Wzór Karakalli można zinterpretować jako taryfę podatkową. Czy istnieje teoria takich taryf ?
4)	Jaka jest matematyczna zasada konstrukcyjna impów ? (informacji o tym nie udało się znaleźć!)
5)	Czy jest możliwe wbudowanie spłaszczania już w sam zapis brydżowy ?

Źródło: Termy Karakallli

Porównywanie „Do Pozostałych”:

To druga sprawiedliwa metoda wyceniania uzyskanych w rozdaniu zapisów:

	Zapisy		Salda		Parze przydziela się średnią jej spłaszczonych przewag nad pozostałymi parami grającymi na tej samej linii (tj NS bądź WE): NS[2] zdobyła 200 mniej niż NS[1] – po spłaszczeniu –167 NS[2] zdobyła 800 więcej niż NS[3] – po spłaszczeniu +444 Zatem saldo NS[2] wynosi +139 ( (–167+444) / 2 )
Stół	NS	WE	NS	WE
1	800		+417	–417
2	600		+139	–139
3		200	–556	+556

Łatwo sprawdzić że bez spłaszczania zachodzi:

{saldo Do Pozostałych} = {saldo Do Średniej} x {ilość stołów} / ( {ilość stołów} –1 )

co oznacza, że gdyby w ogóle nie stosować spłaszczania, to obie metody różniłyby się jedynie skalą, a zatem nie miałoby sensu stosowanie bardziej zawikłanej metody Do Pozostałych. Analogicznie byłoby, gdyby w metodzie Do Pozostałych brać nie „średnią spłaszczonych przewag” lecz „spłaszczoną średnią przewag”, bo wówczas wystarczyłoby przeskalować salda przed spłaszczeniem, a salda ostateczne (tj spłaszczone) wyszłyby w obu metodach identyczne.

Zbadajmy zatem, jaką rolę pełni branie „średniej spłaszczonych przewag” ?

Opłacalność

1
1 +	Z
	S

Wiadomo, że tyle wynosi minimum prawdopodobieństwa sukcesu, aby opłacało się podjąć decyzję która przyniesie nam Z zysku, przy grożącym S straty w razie porażki.

Jak widać, zależy ono wyłącznie od stosunku zysku do straty.

Nie ulega wątpliwości, iż takie prawdopodobieństwa nie powinny zależeć od tego „jak zagra sala”, tj na ilu stołach gracze podejmą decyzję analogiczną. Nie po to gra się w brydża wielostolikowego, aby zgadywać co będzie na innych stołach, lecz po to aby gra była punktowana sprawiedliwiej.

Rozważmy najprostszy przypadek – kiedy na każdym stole rozstrzygany jest ten sam jest dylemat – czy poprzestać (w sytuacji po partii) na pewnych 2ba, czy zaryzykować niepewne 3ba ?

Oto salda w metodzie „Do Średniej” – przed spłaszczeniem:

	9 lew	8 lew	S8 = średnia kiedy jest 8 lew, S9 = średnia kiedy jest 9 lew Zysk z 3ba jeśli jest 9 lew = (600–S9) – (150–S9) = 450 Strata z 3ba jeśli jest 8 lew = (120–S8) – (–100–S8)) = 220
3ba	600 – S9	–100 – S8
2ba	150 – S9	120 – S8

Jak widać – bez względu na to na ilu stołach zdecydowano się na 3ba – Zysk i Strata są stałe – a zatem minimum opłacalności dla 3ba również jest stałe (w tym przykładzie = 32.84%). Zmieni się to jednak kiedy salda w tabeli poddamy spłaszczeniu (jako że funkcja spłaszczająca nie jest addytywna) – i minimum opłacalności zależeć będzie od średnich S9 S8, które z kolei zależą od ilości stołów na których wybrano 3ba (próby wykazują że zmienność względna dochodzi tutaj do 10%).

A teraz salda w metodzie „Do Pozostałych”:

	9 lew	8 lew	W = ilość stołów na których wybrano 3ba ( Wyższy kontrakt ) N = ilość stołów na których wybrano 2ba ( Niższy kontrakt ) s( ) = funkcja spłaszczającą (Karakalla bądź impy – do wyboru! )
3ba	N • s(450)	N • s(–220)
2ba	W • s(–450)	W • s(220)

Dla przejrzystości podaliśmy sumy spłaszczonych przewag, nie średnie.

Zysk z 3ba jeśli jest 9 lew = N • s(450) – W • s(–450) = s(450) • (N + W)

Strata z 3ba jeśli jest 8 lew = W • s(220) – N • s(–220) = s(220) • (N + W)

Zatem minimum opłacalności dla 3ba nie zależy od ilości stołów na których wybrano 3ba.

Nie zależy również od kształtu funkcji spłaszczającej – może być dowolna !

Wniosek: Metoda „Do Pozostałych” jest lepsza.

Ponadto jest dla graczy bardziej wyrazista (bo porównuje zapis do zapisów pozostałych, a nie do „abstrakcyjnej” średniej), i wygodniejsza w przypadku brydża na dwóch stołach (będącego pojedynkiem dwóch drużyn 4–osobowych – b.popularne), bo nie trzeba liczyć średniej.

Kwestia:

6)	Zaprezentowany dowód stabilności prawdopodobieństw obejmował jedynie sytuację najprostszą. Należałoby zbadać jak będzie w sytuacjach bardziej złożonych (więcej decyzji do wyboru).

Ujednolicanie

Jeśli rozdanie jest „płaskie” (tzn „widać” że salda będą w nim małe), można bez ryzyka większej straty podczas gry „przysypiać”; jeśli jest „obrotowe” (tzn „widać” że salda będą duże) – wręcz przeciwnie: należy zagrać je uważnie i starannie. A oto sposób zmniejszania tej dysproporcji:

Należy obliczyć dyspersję każdego rozdania (stosowną miarą jest odchylenie standardowe), a następnie przeskalować salda każdego rozdania z osobna, tak aby dyspersje rozdań zostały (w mniejszym bądź większym stopniu) ujednolicone.

Ustalmy:

p = przeciętna dyspersja sald – ze wszystkich rozdań brydżowych !

s = stara dyspersja sald – ta wyliczona z uzyskanych w danym rozdaniu zapisów

n = nowa dyspersja sald – ta którą chcemy w tymże rozdaniu uzyskać.

i zrealizujmy ujednolicanie poprzez „przybliżanie” dyspersji rozdania do dyspersji przeciętnej (p)

przy pomocy Wzoru Napoleona (nazwa z fikcyjnej anegdoty która ten sposób zaprezentowała):

n =

s •	(	p	)	u
		s

gdzie u = stopień ujednolicalności rozdań ( liczba z przedziału [0,1]) )

Im większy – tym silniej rozdania zostaną ujednolicone.

A oto porównanie nowych sald dwóch rozdań (z próbki 3000 rozdań otrzymano p = 200):

	Zapisy		u = 0		u = 1 / 2		u = 3 / 4		u = 1
Stół	płaskie	obrotowe	płaskie	obrotowe	płaskie	obrotowe	płaskie	obrotowe	płaskie	obrotowe
1	+120	+1430	+24	+498	+66	+373	+111	+321	+185	+278
2	+110	+660	+15	+12	+42	+9	+69	+8	+115	+7
3	+50	+650	–43	+3	–119	+2	–198	+2	–331	+2
4	+100	–200	+5	–514	+14	–385	+23	–332	+38	–287
	dyspersje =		±26	±358	±72	±268	±120	±231	±200	±200

Wartość u można wybrać wg upodobania (ostrożnie rozsądna wydaje się 1/2).

Salda wyliczone są metodą „Do Pozostałych”, zatem – bez względu na u – minima opłacalności są takie same.

Kwestie:

7)	Jak uzasadnić Wzór Napoleona ? (powstał w wyniku spekulacji matematycznej)
8)	Czy można wskazać optymalny stopień ujednolicalności ?
9)	Czy stopień ujednolicalności należy uzależnić od ilości stołów?

Źródło: Napoleonki

Maxowanie

Metoda „Do Pozostałych” – z tym że przewagi nad pozostałymi stołami spłaszcza się b.specyficznie – mianowicie każdą niezerową (bez względu na jej wielkość!) zmienia się na 1. Tak więc salda z rozdania są liczbami z przedziału [0,1], co pozwala wyrazić je w dobrze percepowalnych %%.

Zrównanie wszystkich przewag jest oczywiście jaskrawo sprzeczne z ideą gry na punkty; mimo to metoda ta jest b.popularna – prawdopodobnie atrakcyjna jest jej losowość (sic!) i... przyzwyczajenie.

Nie ulega wątpliwości, że maxowanie powinno być zastąpione Maxymalnym Ujednolicaniem (u=1).

O szkodliwości maxizmu

Średnia kalkulowana

Niesprawiedliwość brydża granego na jednym stole można w znacznym stopniu zredukować oszacowując średni zapis jaki byłby w rozdaniu, gdyby rozegrano je na wielu stołach. Rzecz jasna średnia jest (statystycznie) po stronie pary, która otrzymała karty silniejsze. Oto mnemoniczne przybliżenie takiego oszacowania (z dodanym drobnym uwzględnieniem siły układowej):

Każda para oblicza siłę swoich rąk: honorową – w tzw miltonach (A=4 K=3 D=2 W=1); układową – ze wzoru: (suma kart w kolorze najdłuższym + suma kart w najkrótszym) –13. Jeśli łącznie wyjdzie więcej niż 20 takich punktów, średnia w rozdaniu jest po stronie tej pary i liczy się ją następująco:

za każdy punkt ponad 20 – 50 przed partią, 60 po partii

za każdy punkt ponad 30 – dwakroć więcej.

Proste i łatwe do zapamiętania. Przy brydżu na jednym stole należy to stosować zawsze !

Kwestie:

10)	Opracować metodę jak najdokładniejszego wyznaczania średniej programem komputerowym.
11)	Znaleźć oszacowanie średniej dla brydża granego Zapisem Fibonacciego.

Źródło: Zapis Miltonowy

Punktowanie pojedynku

Pierwsza wersja niniejszego artykułu

Matematyka		Innowacje	Co nowego...		do Spisu
4 X 2006	redakcja@pikier.com			© Pikier.com
brydż, brydz, bridge, brydż sportowy, brydz sportowy, bridge sportowy, Pikier, Sławiński, Slawinski, Łukasz Sławiński, Lukasz Slawinski,

---