ŁS

STatystyczny Algorytm LIcytacji Naturalnej

3 V 2008

Czym jest brydż

Grą dwósobową w której dodatkową trzecią „osobą” jest „natura” (wytasowany rozkład kart).

Osoba w brydżu jest parą graczy (partnerów) będących w spółce, ale grających oddzielnie.

Każdy gracz zna podczas licytacji tylko ćwierć natury – swoją „rękę” (13 kart które otrzymał).

Cechy powyższe odnoszą się do brydża „panującego”, tj obecnie powszechnie uprawianego.

Istnieją bowiem (bądź dają się pomyśleć) „brydże” o cechach odmiennych (niekiedy znacznie).

Nieuchronność naturalności

Połowa kontraktów jakie można w brydżu wygrać (bądź opłaca się zagrać) to kontrakty dość niskie – o wysokości 2 i 3 (odpowiednio: 8 i 9 lew do wzięcia). Strategia licytacji musi więc bazować na „natu­ral­ności” odzywek – to co zostało zalicytowane po­winno być kontraktem „do wygrania” (tzn z szan­są sukcesu w granicach 40–60%). Wynika stąd, że generalnie najwłaściwszą jest metoda ko­lej­nych przybli­żeń – kolejne korekty kontraktu „do wy­grania” (w oparciu o dotychczasową in­for­ma­cję).

Znaczenie odzywki = ręka modelowa

Zbiór rąk z którymi dana odzywka jest licytowana najlepiej scharakteryzować po­przez wskaźniki sta­tystyczne – średnie i dyspersje. Powinny one dotyczyć czynników istotnych dla zdolności brania lew – układu (tj długości poszczególnych kolorów) oraz łącznej siły honorowej (i jej rozdziału między po­szczególne kolory). Tak właśnie gracz wy­ob­ra­ża sobie rękę partnera (i ręce prze­ciwników) – „widzi” konkretną rękę zbliżoną do średniej – mo­de­lo­wą (np HHxxx xx hxx Hxx) – mając przy tym świado­mość większej bądź mniejszej nie­pew­no­ś­ci (dyspersji) po­szcze­gól­nych składników.

 

Przykładowa statystyka otwarć naturalnych

ze względu na długość kolorów:

kolor otwarcia

kolory boczne

 

średnia

dyspersja

średnia

dyspersja

 

 

1 w młodszy z trójki

4.51

±0.97

2.83

±1.15

 

 

1 w starszy z piątki 

5.36

±0.58

2.55

±0.97

Dyspersja jest tu i dalej mierzona odchyleniem standardowym.

Ilość lew do wzięcia – prawdopodobieństwa

Mając modelowy obraz pozostałych rąk (przede wszystkim średniej ręki partnera), gracz może osza­cować ilość lew do wzięcia na dany kontrakt – ilość Lew Wygrywających (LW). Jest to tzw  BILANS (bry­dżo­wy) – dla którego ułożono wiele mniej lub bardziej ambitnych algorytmów.

Oczywiście wynik, dajmy na to 10 lew (10 LW) nie oznacza pewności wzięcia 10 lew. Pewne kalkulacje pozwalają stwierdzić, że szanse są (a może raczej powinny być) w przybliżeniu następujące:

10 LW = 75% szans na wzięcie minimum 10 lew ( na 9 = 25%  na 10 = 50%  na 11 = 25% )   

pół lewy więcej, czyli 10.5 LW = także (!) 75%     lewa więcej, czyli 11 LW = 100% 

pół lewy mniej, czyli 9.5 LW = 50%    lewa mniej, czyli 9 LW = 25%     półwtorej mniej = 0%

Lewy Wygrywające są sumą Lew Honorowych (LH) i Lew Układowych (LU), czyli: LW = LH + LU.

Lewy Układowe są z kolei sumą Lew Blotkowych (LB) i Lew Przebitkowych (LP): LU = LB + LP.

Uproszczenia dotychczasowe

Zamiast rozważać wiele rąk – zakładamy jedną rękę reprezentatywną (średnią, modelową).

Zamiast rozważać szanse poszczególnych rezultatów danego kontraktu (swoje, bez jednej, jedna le­piej) – obliczamy ilość Lew Wygrywających (uzyskując zgrubny rozkład prawdopodobieństwa).

Niestety, w brydżu musimy posługiwać się przybliżeniami, a nawet przybliżeniami przybliżeń.

Aksjomaty–Dyrektywy

Reguły podejmowania decyzji licytacyjnych dają się wyprowadzić z trzech aksjomatów, które łącznie można zakodować hasłem LEwy, Nadwyżki I Niemodelowość. Oboczna nazwa dyrektywy ma na ce­lu podkreślenie, że nie są one ścisłymi receptami lecz ogólnymi wskazówkami.

Dyrektywa Pokrycia Bilansowego

LEwy

 

To co jest zalicytowane ma pokrycie bilansowe zabezpieczające jakiś aktualnie opłacalny kontrakt.

Oprócz prawdopodobieństwa wzięcia danej ilości lew, należy oczywiście uwzględniać spodziewany Zysk i Stratę. Wszystko to powiązane jest formułą:

1

1 +

Z

S

Tyle wynosi minimum prawdopodobień­stwa sukcesu, aby opłacało się pod­jąć decyzję która przyniesie nam Z zysku, przy grożącym S straty w razie po­rażki.

          Jak widać, zależy ono wyłącznie od stosunku zysku do straty.

Z uwagi na absurdalną niejednostajność Zapisu Brydżowego (patrz Zapis Fibonacciego ) powyższe minimum waha się w szerokim zakresie: od około 40%  do niemal 100%.

Zapis ma bowiem dwie „strefy martwe” (poni­żej końcówki oraz między końcówką a szlemikiem); istnieją ponadto kontry (które mogą znacz­nie zwiększyć Stratę rozgrywają­cego); i wreszcie są sytuacje kiedy opłaca się licytacja na wpadkę z kontrą bez jednej / dwóch (bloki i obrony), bo z rachunku lew wynika że za kontrakt własny przeciwnicy uzyskają wię­cej.

Zróżnicowanie opłacalności daje się uchwycić poprzez tzw SIŁOWOŚĆ:

 

Siłowość odzywki jest nadwyżką / podniżką

ilości LW w stosunku do

ilości zakontraktowanej,

przy założeniu że partner ma rękę (siłę) średnią.

stopień siłowości

 

nadwyżka

sugestia dla partnera

%%

przykłady:

+ 1 lewa

„Licytuj”

100%

odzywki b.silne

+1/2  lewy

„Raczej licytuj”

75%

inwity, zachęty

0       

„?” (brak sugestii)

50%

neutralne, balansujące

1/2 lewy

„Raczej pasuj”

25%

podtrzymania, negaty

–1 lewa

„Pasuj”

0%

ratunkowe, blokujące

Np odzywka 3 pik inwitująca do 4 pików obiecuje 9 i pół LW (przy założeniu że partner ma siłę średnią) – czyli pół lewy nadwyżki ponad bezwzględną wysokość kontraktu 3 pik (9 lew). Należy zauważyć, że nadwyżka ta nie wynika z nazwania odzywki 3 pik „inwitem”, lecz odwrotnie – nazwa „inwit” wynika z opłacalności licytowania 3 pików dopiero z nadwyżką pół lewy (co wynika ze specyfiki Zapisu).

Aby zgrabnie uwzględnić siłowość w rachunkach. wprowadzimy nowy rodzaj lew:

Lewy Opłacalne (LO) = { LW liczone do średniej } + { Siłowość odzywki }

i Dyrektywę Pokrycia Bilansowego uściślimy do wymogu następującego:

Ilość LO obiecywana przez odzywkę bezwzględnej wysokości kontraktu wymuszanego

Wymuszanego! – są bowiem odzywki o których wiadomo że nie będą kontraktem ostatecznym, jak np wywołanie odzywki partnera kolorem przeciwnika bądź kontrą.

Zauważmy że narzuca to graczowi wąski margines ryzyka – nie powinien (wyjąwszy sytuacje b.klarowne) licytować na więcej niż bez jednej ani zaniżać licytacji o więcej niż jedną lewę.

Siłowość można wyrażać w lewach bądź procentach. Procenty mają tę zaletę że określają in­ten­cję odzywki, a ponadto bardziej skłaniają do myślenia o szansie wygrania. Ponieważ w więk­szo­ści sytu­acji licytacyjnych maxymalne odchylenie in minus od siły średniej wynosi zaledwie pół lewy (taki jest rozkład prawdopodobieństwa siły honorowej), prawdą jest zależność następująca:

Siłowość w %% = szansa wygrania przy zastaniu u partnera minimum (tj pół lewy poniżej średniej).

Nie ma dotąd pełnej i zgrabnej kodyfikacji odzywek ze względu na siłowość, lecz zaledwie zarys:

·        odzywka w „nowy” kolor ma siłowość większą  w „stary” kolor – mniejszą,

·        odzywka skacząca ma siłowość większą; ucieczka z kontry ma siłowość mniejszą,

·        zmuszanie partnera do licytacji (forsowanie) podwyższa siłowość następnych odzywek, ( itp )

który pozwala jednak doświadczonemu graczowi oceniać siłowość zupełnie znośnie.


Dyrektywa Pokrycia Bilansowego jest „paliwem” licytacji – dwie pozostałe dyrektywy regulują wy­mia­nę informacji poprzez wymogi dotyczące wskaźników statystycznych odzywki – średnich i dyspersji.

Celem ogólnym jest oczywiście zmniejszenie niepewności (entropii).

Dyrektywa Odchyleń Dodatnich

Nadwyżki

 

Zalicytowanie koloru oznacza nadwyżkę w TYM kolorze ( tj odchylenie dodatnie (ponad średnią) ).

Zalicytowanie bez atu oznacza nadwyżki (mniejsze) w kolorach przez partnerów nielicytowanych.

Dyrektywa ta służy skorygowaniu średniej wartości koloru (ilości kart i skupienia honorów)  poprzez wskazanie, że mamy w nim więcej niż partner oczekiwał. Oczywiście podwyższając śred­nią w jakimś ko­lo­rze zarazem obniżamy średnie w kolorach pozostałych.

Od dyrektywy tej są „naturalne” wyjątki: zalicytowanie koloru przeciwnika, skontro­wanie je­go koloru wy­wo­ławczo, tzw Czwarty Kolor – mają znaczenie przeciwne, mianowicie oznaczają podniżkę (tj od­chy­le­nie u­jem­ne (poniżej średniej) ) w TYM kolorze. Tak czy owak służy to korygowaniu średnich.

Dyrektywa Odejmowania Niemodelowości

Niemodelowość

 

 

Im bardziej nasza ręka odbiega od modelowej (średniej) – tym bardziej należy zaniżać licytację.

 

Ponieważ partner licytuje do ręki modelowej, więc niemodelowość naszej ręki wprowadza go w błąd.  Powoduje to błędną ocenę możliwości połączonych rąk co może doprowadzić do kontraktu gor­sze­go (o mniejszym oczekiwanym zysku). Groźba ta zmniejsza się w miarę zaawansowania li­cy­ta­cji, bo­wiem wzrasta wówczas szan­sa, że odzywka zalicytowana stanie się kontraktem ostatecznym.

Jedyną możliwością zniwelowania strat wynikających z powyższego jest zaniżanie licytacji – tym większe im większa jest niemodelowość – i tym mniejsze im bardziej licytacja jest zaawansowana – a liczbowe ujęcie powyższego wymaga wprowadzenia nowych rodzajów lew:

Lewy Niemodelowe (LN) = Ilość lew o które należy zaniżyć (może być ułamkowa!)

Lewy Modelowe (LM) = Lewy Opłacalne (LO) – Lewy Niemodelowe (LN)

 

Kryterium Wartościowania Odzywek

 

Saldo odzywki = ilość LM – (ilość lew potrzebna do wygrania kontraktu)

Np +1/4, +1/2,... – nadmiar, –1/4, –1/2,... – niedobór, 0 – w sam raz

Odzywka optymalna = odzywka o najmniejszym saldzie nieujemnym

(a jeśli takowej niema, to odzywka o najmniejszym niedoborze)

Przykładowe uszeregowanie od najlepszej do najgorszej: 0  +1/2 +1/2 +3/4  –1/4  –1/2  –1

(dwie odzywki mają tu to samo saldo = +1/2, co oznacza że są tak samo dobre).

 

Ujęcia ilościowe (nadwyżek, dyspersyj, niemodelowości)

 

Nie zostały dotąd sformułowane dostatecznie wnikliwie – potocznie przyjmuje się np że nadwyżka w kolorze oznacza jedną kartę więcej ponad dotychczasową średnią bądź wyjątkowo dużą koncentra­cję honorów. Pewne światło rzuca następująca znośna aproxymacja (dotycząca tylko ilości kart):

N = D [Ö2 (1+ÖP) ]

N = Nadwyżka      D = Dyspersja        Ö=pierwiastek kwadratowy

P = Przeskok ( 0=bez, 1=pojedynczy, 2=podwójny, 3=potrójny, 4=poczwórny )

[ np po sekwencji „1© 1BA”::   2¨: p=0  3¨: p=1  4¨: p=2   5¨: p=3 ]

 

D = N : [­Ö2 (1+ÖP) ]2

Przykład:

Przed rozpoczęciem licytacji w kolorze są średnio 3.25 karty z Dyspersją = ±1.10.

Nadwyżka wynosi 1.10 Ö2 = 1.56, zatem otwarcie 1 w Kolor (p=0) wskazuje 3.25 + 1.56 = 4.81.

Dyspersja w tym kolorze maleje teraz do połowy Nadwyżki, czyli do ±0.78.

Jeśli chodzi o niemodelowość (Lewy Niemodelowe – LN), to udało się ustalić empirycznie tak zwane Bazowe obniżki za niemodelowość  (tj dla otwarć i wejść niskich – na poziomie 1–2):

za karty brakujące do ilości średniej: za pierwszą – ćwierć, za drugą – pół, za trzecią – 3/4,....

za każdą kartę ponad ilość średnią – ćwierć lewy

za każdą brakującą LH do średniej ilości LH – ćwierć lewy

za wyraźnie niemodelowe rozłożenie honorów – ćwierć / pół lewy (na oko).

Dla kolejnych odzywek gracza (oraz dla otwarć / wejść wyższych) należy LN Bazowe zmniejszać zgod­nie z maleniem dyspersji w przytoczonych wyżej wzorach. Na przykład:

JEŚLI gracz wszedł 1ª z pewną ilością bazowych LN, po czym rozważa jako kolejną odzywkę 2¨,

TO powinien teraz skorygować swoje (bazowe) LN w odniesieniu do ręki dla tej licytacji modelowej, a następnie przemnożyć je przez 0.7 ( bo nowa dyspersja := Ö2 / 2 poprzednia dyspersja ).

Dyrektywy jako zespół aksjomatów

Niesprzeczność – jest spełniona, bowiem w każdej sytuacji można odzywki jednoznacznie uszere­go­wać wg wartości. Nic przy tym nie szkodzi że jest to przybliżone i niepewne (jest nadzieja uściślenia).

Niezależność – wprawdzie każda z dyrektyw jest niezbędna, nie jest jednak wykluczone że niektóre wnio­ski dają się wyprowadzić z dwóch dyrektyw (podejrzane o to są dyrektywy Pokrycia i Odchyleń).

Zupełność – tu są liczne wątpliwości, spowodowane w dużej mierze nielogicznością reguł brydża:  Za­pis jest skonstruowany błędnie, kontry i rekontry są w gruncie rzeczy hazardowym podbiciem staw­ki, ponadto całość jest zwichrowana przez panujące obyczaje licytacyjne. Zamiast ściśle do­pa­so­wy­wać teorię do obecnie panującego brydża, daleko lepiej byłoby uzdrowić jego reguły !

Przewidywanie przebiegu licytacji:

Chociaż licytacja jest grą wielochodową, jednak niesposób przewidzieć jej dalszego przebiegu – zdarzyć się może wszystko, nawet najbardziej nieprawdopodobna odzywka. Planowanie nie ma więc sensu (chyba że taktyczne – próba odgadnięcia błędnej reakcji przeciwników). Pikier wycofuje się więc z podtrzymywanej ongiś MetaDyrektywy Przygotowania.

Stosowalność: 

To wszystko daje się stosować, a nawet jest powszechnie stosowane ! (przez tych którzy nie zetknęli się z ujęciem Pikiera oczywiście nieświadomie). Sprawność zależy oczywiście od wnikliwości i do­kład­ności jaką wkładamy w grę. To daje się również skomputeryzować.

Na zakończenie dwie rady metodyczne:

Nie należy myśleć o ręce w kategoriach zakresowych ( od... do.., punktów, kierów, kar ), lecz operować statystycznym wizerunkiem ręki – ręką modelową. Tak jest zawsze lepiej.

Nie należy myśleć „czy idzie nam 4 pik”, lecz „ile lew mamy przy grze w piki” (9 i pół? 9 i ćwierć? 10?)

 

Źródła:

Telimena i wiele innych  ( Szkic algorytmu licytacji     IKONA    Odpowiedzi    Konsultacje  ... )

Matematyka

Innowacje

Co nowego... 

do Spisu

3 V 2008

redakcja@pikier.com

© Pikier.com

brydż, brydz, bridge, brydż sportowy, brydz sportowy, bridge sportowy, Pikier, Sławiński, Slawinski, Łukasz Sławiński, Lukasz Slawinski,