|
ŁS |
Problemy
rozliczeniowe |
|
Czterej gracze A B C D
rozegrali turę czyli 3 robry w różnych zestawieniach:
Rober 1: AB grali przeciwko CD, Wynik = x dla AB.
Rober 2: AC grali przeciwko BD, Wynik = y dla AC.
Rober 3: AD grali przeciwko BC, Wynik = z dla AD.
Liczby x y z są całkowite
(mogą być ujemne bądź =0).
Zwyczajowo wynik robra
dodaje się do salda każdemu graczowi z osobna
(np po robrze 2: graczom A
i C wzrasta saldo o y, a graczom B i D wzrasta o –y ).
Salda końcowe graczy: a b
c d (odpowiednio dla A B C D).
ZADANIE
1) Mając: a b c d (oczywiście całkowite) obliczyć: x y z.
2) Kiedy istnieje
rozwiązanie ?
3) Czy może być więcej niż
jedno rozwiązanie ?
To proste szkolne zadanie
jest przykładem powiązania nauczania brydża z nauczaniem matematyki.
Na dwójkę rozwiązać je
łatwo, ale proszę postarać się o piątkę !
Oczywiście nie muszą to
być robry klasyczne – mogą być na Zapis Miltonowy („na tabelkę”).
Analogicznie będzie dla
turnieju czterech par (na dwa stoły) punktowanego np w viktorkach.
Zdarzyło mi się kiedyś
zagrać turę o wyniku: +30 –18 +18
–30 ( odpowiednio: A B C D ).
Ja byłem A, lecz niestety D
odmówił zapłacenia i uciekł bezpowrotnie.
B wypłacił C swoje
przegrane 18, po czym obaj oświadczyli, że oni są rozliczeni, a na moje oburzenie
C odpowiedział tak: „O co ci chodzi? Przecież 18 wygrałem od B, a ty swoje 30
wygrałeś od D”.
Jak powinno wyglądać
sprawiedliwe rozliczenie ?
Po dwóch poprzednich
zadaniach, poniższe powinno być dziecinnie łatwe:
Tura była wyjątkowo
obrotowa: +96 –24 0 –72 ( odpowiednio: A B C D ). D może zapłacić tylko 48.
Trudno nawet mieć do niego
większą pretensję, bo tak wysoka przegrana zdarza się b.b.rzadko.
Jak powinno wyglądać
sprawiedliwe rozliczenie ?
Problemy 2 i 3 nie zostały jednoznacznie
rozstrzygnięte !
Są wątpliwości. Kto potrafi je rozwiać ?
Problem sprawieliwego rozliczenia
został wystawiony jako Zadanie Nr 2 Pikiera
Już niema wątpliwości.
|
28 Września 2003 |
||||
|
brydż, brydz, bridge, brydż sportowy, brydz
sportowy, bridge sportowy, Pikier, Sławiński, Slawinski, Łukasz Sławiński,
Lukasz Slawinski, |
||||
1)
Czy wynik tury wyznacza wyniki robrów ?
Rozpisujemy przebieg tury w
tabeli:
|
gracze
= |
A |
B |
C |
D |
|
Każda kolumna tabeli
reprezentuje jedno równanie. Dodając różne kombinacje
dwóch równań stronami ( AB, AC,..., CD ) otrzymujemy następujące
wzory: |
|
rober 1 |
+x |
+x |
–x |
–x |
|
|
|
rober 2 |
+y |
–y |
+y |
–y |
|
|
|
rober
3 |
+z |
–z |
–z |
+z |
|
|
|
razem
= |
a |
b |
c |
d |
|
|
x
= |
a
+ b |
= − |
c
+ d |
|
Z każdego wzoru z osobna
wynika że: a
+ b + c + d = 0 a z każdych dwóch że: liczby
a b c d są wszystkie parzyste albo wszystkie nieparzyste. Zachodzenie powyższych warunków jest
konieczne i wystarczające na to by istniało rozwiązanie, czyli by liczby (a b
c d) przedstawiały wynik jakiejś możliwej tury (np
salda +12 +13 –7 –18 są niemożliwe). |
|
2 |
2 |
|
|||
|
y = |
a + c |
= − |
b
+ d |
|
|
|
2 |
2 |
|
|||
|
z
= |
a + d |
= − |
b + c |
|
|
|
2 |
2 |
|
Poprawność rozwiązania
sprawdzamy przez podstawienie, a jedyność jest widoczna.
2) Jak rozliczyć
turę, jeśli jeden uchylił się od zapłacenia ?
Wynik tury: +30 –18 +18 –30 ( odpowiednio: A B C D ). D uciekł uchyliwszy się od zapłacenia.
Odtwarzamy przebieg tury:
|
|
A |
B |
C |
D |
|
Rober jest pojedynkiem dwóch par–spółek,
zatem przegrywający płaci nie jednemu przeciwnikowi, ale obydwóm – każdemu
połowę swojej przegranej. Skoro D uciekł, więc C za pierwszy rober winien
zapłacić A i B po 3. Podobnie za drugi – B ma zapłacić A i C po 12. (gdyby
D wygrał robra, przegrani opłaciliby tylko wygraną czwartego) |
|
rober
1 |
+6 |
+6 |
–6 |
–6 |
|
|
|
rober
2 |
+24 |
–24 |
+24 |
–24 |
|
|
|
rober
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
razem |
+30 |
–18 |
+18 |
–30 |
|
Poprawiona tak tabelka
rozliczeń wygląda następująco:
|
|
A |
B |
C |
D |
|
Zatem D ukradł pozostałym graczom
następuje kwoty: A – 15 B – 3 C – 12 Ponieważ nastąpiły wypłaty: 0 –18 +18 0, więc A został dodatkowo obrabowany
przez B i C na 15, z czego 3 zgarnął B, a 12 – C. |
|
rober
1 |
+3 |
+3 |
–6 |
0 |
|
|
|
rober
2 |
+12 |
–24 |
+12 |
0 |
|
|
|
rober
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
razem |
+15 |
–21 |
+6 |
0 |
|
Jest w tym jednak pewien
haczyk:
Gdyby np C przyprowadził D
ręcząc za niego – powinien oczywiście pokryć jego przegraną.
Gdyby np obaj B i C poręczyli
za D – powinni pokryć jego przegraną wspólnie.
W tym przypadku nikt za D
nie poręczył, więc nasuwa się pytanie, czy nie należałoby zinterpretować tego
tak, jakby A B C poręczyli za D solidarnie. Wówczas każdemu trzeba by odjąć po 10,
po czym rozliczenie byłoby następujące: +20 –28 +8 0.
O tym że nie jest to pogląd
absurdalny przekonuje nas przykład bardziej życiowy:
Mieszkający razem A i B
przyjęli wspólnie na nocleg nieznajomego, który w nocy uciekł z telewizorem
należącym do B, po czym B domaga się od A połowy swojej straty, twierdząc – nie
bez słuszności – że A ponosi odpowiedzialność w równym stopniu co on.
Wydaje się że nie jest to
problem matematyczny, lecz jurystyczny ?
Jak to jest w Kodeksie
Cywilnym ? Może ktoś wie.
Tak czy inaczej A B C powinni rozliczyć się narazie wg
wyliczenia pierwszego ( +15 –21 +6 0 ),
a kwestię pozostałych 7 oddać do rozpatrzenia kompetentnemu
trybunałowi.
3) Jak rozliczyć
turę, kiedy jednemu zabrakło ?
Wynik tury: +96 –24 0 –72 ( odpowiednio: A B C D ). D zapłaci tylko 48.
Odtwarzamy przebieg tury:
|
|
A |
B |
C |
D |
|
D może zapłacić tylko 2/3 przegranej kwoty. Możemy potraktować sprawę tak jakby umówiono
się zawczasu, że D będzie rozliczać się z pozostałymi po stawce o 1/3 niższej (stosuje się to czasem, kiedy jeden z
graczy ma za mało gotówki). |
|
rober
1 |
+36 |
+36 |
–36 |
–36 |
|
|
|
rober
2 |
+48 |
–48 |
+48 |
–48 |
|
|
|
rober
3 |
+12 |
–12 |
–12 |
+12 |
|
|
|
razem |
+96 |
–24 |
0 |
–72 |
|
Wówczas rozliczenie powinno
wyglądać następująco:
|
|
A |
B |
C |
D |
|
Jednak taka wcześniejsza umowa nie
miała miejsca, więc niby dlaczego D ma cokolwiek zyskiwać
w trzecim robrze !? |
|
rober
1 |
+30 |
+30 |
–36 |
–24 |
|
|
|
rober
2 |
+40 |
–48 |
+40 |
–32 |
|
|
|
rober
3 |
+12 |
–10 |
–10 |
+8 |
|
|
|
razem |
+82 |
–28 |
–6 |
–48 |
|
Po wyzerowaniu jego zysku +8 rozliczenie będzie następujące:
|
|
A |
B |
C |
D |
|
48 zostało rozdzielone w proporcji do
przegranych D w dwóch pierwszych robrach, czyli 36:48
(3:4
po skróceniu ułamka). Dokonaliśmy
drobnych zaokrągleń, aby nie bawić się w grosze. |
|
rober
1 |
+28 |
+28 |
–36 |
–20 |
|
|
|
rober
2 |
+38 |
–48 |
+38 |
–28 |
|
|
|
rober
3 |
+12 |
–6 |
–6 |
0 |
|
|
|
razem |
+78 |
–26 |
–4 |
–48 |
|
Nie koniec na tym.
Możnaby – podobnie jak w Zadaniu 2 – deficyt gracza D
rozdzielić solidarnie (tj po równo) między pozostałych graczy. Wówczas rozliczenie
wyglądałoby następująco: +88 –32 –8 –48.
Jakie więc w końcu powinno
być rozliczenie sprawiedliwe ???
Niniejszy problem był później podany jako Zadanie 2 Pikiera (patrz
Zadania ).
Prawidłowym rozwiązanie jest pierwsze z powyższych. Dyskusja jest
pod Rozwiązanie.