ŁS 1995

Panta rhei, ale...

z Pikiera 15

A W 10 9 8

10 9

A 10 9 8

A W

Po licytacji:	N	S
	1♠	7BA
			rozgrywamy 7BA z pozycji S.

Zanim zostanie dokonane pierwsze wyjście (przy okazji: zgódźmy się, że pikowe jest po tej licytacji wykluczone), spróbujmy obliczyć prawdopodobieństwo, że W ma dokładnie 3 piki.

K 7 6 5

A K D W

K D W

K D

Jedyne co możemy i musimy wziąć w tej chwili pod uwagę, to fakt że talia była potasowana i rozdana.

Szczegółowy przebieg tego procesu jest bez znaczenia ! Można np przyjąć, że najpierw NS wyciągnęli na chybił–trafił po 13 kart z talii (i otrzymali to co otrzymali!), a następnie gracz W spośród pozostałych 26 kart wyciągnął dla siebie 13.

Nie wiadomo wprawdzie co otrzymał, ale wiadomo że ma jedną z 10 400 600 możliwych rąk, które MÓGŁ otrzymać.

Oblicza się to przy pomocy wzoru Newtona. Np aby dowiedzieć się na ile sposobów można wyciągnąć 3 karty z 7, należy obliczyć:
7!	=	7!	=	7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1	=	35
3! • (7–3)!		3! • 4!		3 • 2 • 1 • 4 • 3 • 2 • 1

Wśród tych rąk jest ileśtam zawierających dokładnie 3 piki. Aby obliczyć – ile – należy tym razem przyjąć taki sposób rozdzielania kart w którym Î otrzymuje dokładnie 3 piki. A więc:

– 26 kart graczy WE dzielimy na dwie części – 4 piki i 22 niepiki
– W wybiera 3 spośród 4 pików – co może uczynić na 4 sposoby
– następnie wybiera 10 spośród 22 niepików – 646 646 sposobów
– ilość rąk W z dokładnie 3 pikami jest oczywiście iloczynem:
4 • 646 646 = 2 586 584

Ostatecznie – prawdopodobieństwo że W ma dokładnie 3 piki wynosi:

ilość rąk W z dokładnie 3 pikami	=	2 586 584	=	24,87%
ilość wszystkich możliwych rąk W		10 400 600

a jeśli ktoś nie wierzy że wynik zgadza się z rzeczywistością, niech siądzie na kilka dni do tasowania i rozdawania kart WE.

Tak właśnie obliczane są powszechnie znane tabele prawdopodobieństw podziału koloru między wistujących, a rzetelność wyników gwarantowana jest przez to, że proces liczenia odzwierciedla rzeczywisty proces tasowania i rozdawania.

Sposób rozdawania jest najzupełniej obojętny dla prawdopodobieństw. Można rozdawać dowolnymi porcjami (np po 13) i w dowolnej kolejności – byleby każdy otrzymał 13. Lepiej w to wierzyć, bo w tej wierze utwierdzone są wszystkie szanse na świecie.

Łatwo zauważyć, że tabele te można stosować do podziałów DOWOLNEGO podzbioru 26 kart WE.

Jeśli bowiem w omawianym rozdaniu zechcemy obliczyć szansę, że W ma dokładnie 3 karty spośród 4 poniższych:

5 Pików 2 Kierów 3 Kar 2 Trefli

to przekonamy się, że proces obliczeniowy jest identyczny, i otrzymamy oczywiście ten sam rezultat = 24,87 %.

Możemy także zainteresować się tylko trzema spośród brakujących nam pików – dajmy na to blotkami, i zapytać jaka jest szansa, że W ma dokładnie 2 blotki pik (dama może leżeć dowolnie). Wyjdzie to samo co szansa podziału 2 – 1.

Wznówmy teraz zawieszoną chwilowo rozgrywkę...

W oddaje pierwszy wist szóstką trefl, E dokłada piątkę trefl, bierzemy lewę i zapytujemy:

Jakie jest TERAZ prawdopodobieństwo, że W ma dokładnie 3 piki ?

Aby uprościć sobie życie, załóżmy – co wydaje się rozsądnie zgodne z rzeczywistością – że po takiej licytacji WE zarzucili wszelkie swoje zwyczaje i konwencje wistowe, i wybierają blotki do zagrania najzupełniej przypadkowo (oczywiście nie dorzucają pików nie do koloru).

Załóżmy również – co jest już mniej sensowne, ale niech tam – że pierwszy wist oddawany jest zawsze w losowo wybranego trefla (tak że szóstka może być równie dobrze singletonem).

Albo że rozgrywkę zaczyna rozgrywający ! wychodząc w trefle. Chodzi o to by wszystkie możliwe ręce W i E były jednakowo prawdopodobne. Uwzględnienie niechęci do wyjścia w singletona niesłychanie skomplikowałoby rachunki. Istota rzeczy pozostaje jednak bez zmiany, a popełniany błąd wydaje się być niewielki.

I wreszcie przeprowadźmy analogiczne do poprzedniego obliczenie dla nowej rzeczywistości.

Skoro Piątka i Szóstka trefl są już zlokalizowane, to:

– przy liczeniu wszystkich możliwych rąk:
W wybiera 12 kart z 24 (poprzednio 13 z 26)
– przy liczeniu rąk z dokładnie trzema pikami:
W wybiera 9 spośród 20 niepików (poprzednio 10 z 22).

Otrzymujemy nieco inne prawdopodobieństwo i z zapałem odkrywcy przystępujemy do obliczeń dla: po 2 lewach, po 3 lewach,...itd. Z zapałem – bo skoro do kalkulacji szans przystępuje się zazwyczaj po zgraniu 2–3 lew bocznych, to tabele szans „przed rozpoczęciem rozgrywki” rozgrywający powinien odtąd całkowicie zarzucić.

Tak właśnie zrobił Marek Peszke w artykule „Panta rhei” („Problemy brydżowe”, PZBS, 1992) – podał tabele prawdopodobieństw podziału koloru także dla sytuacji po rozpoczęciu rozgrywki, tj po zgraniu 1,2,3,... lew w kolorach bocznych.

Sposób liczenia był taki jaki zaprezentowaliśmy, przy czym:

– założono że każda lewa lokalizuje 2 karty u przeciwników
(nie zostało to wprawdzie powiedziane wprost, ale wynika ze wzorów)
– stwierdzono że tabele są ważne tylko dla koloru „nieruszonego”.

Każde odkrycie, a zwłaszcza tak rewelacyjnie proste, wymaga weryfikacji.

Pierwsza wątpliwość jest natury pryncypialnej, Otóż obliczenie przeprowadzone po zgraniu pierwszej lewy byłoby bez wątpienia dobre, gdyby: W dostał najpierw szóstkę trefl, E – piątkę trefl, a dopiero potem otrzymaliby – już oczywiście losowo – kart pozostałe. Albo dobitniej: gdyby po pierwszej lewie przerwali grę na chwilę, połączyli swoje niezgrane karty (24), potasowali, i ponownie między siebie rozdzielili !

A przecież rzeczywistość była inna – tasowanie odbyło się wcześniej, i brały w nim udział szóstka i piątka trefl.

Jeśli ktoś sądzi że „na jedno wychodzi”, niech zastanowi się nad poniższym paradoxem:

Rozdano talię tak, by W otrzymał króla karo i 12 pików. Szansa na asa pik u W jest oczywiście bliska 100%. Następnie poproszono W by świadomie ujawnił 11 swoich pików – wyłączając asa! jeśli go posiada. Gdyby liczyć jak liczyliśmy, to szansa na asa pik u W wyszłaby teraz = 50% (bo tylko dwie ręce W wchodzą w rachubę, a jedna z nich jest z asem).

Przemógłszy lekkie zaniepokojenie przystępujemy do kontynuowania rozgrywki. Zgrywamy dwa kiery i okazuje się, że W miał singletona (za drugim razem dołożył trefla).

Co teraz z szansą na 3 piki u W ?

Zaglądamy do tabel w artykule „Panta rhei”, i stwierdzamy że szanse podziałów 3–1 i 1–3 są identyczne. Jakże to ? Przecież każdy wie z intuicyjnej praktyki, że długość (tj 3 karty w pikach) jest bardziej szansowna tam gdzie ujawnił się singleton !

Dłuższa chwila zastanowienia pozwala nam zorientować się gdzie pies pogrzebany. Otóż w „Panta rhei” mylnie założono, że każda lewa ujawnia 2 karty przeciwników. Mylnie – bo w naszym rozdanie trzecia lewa zlokalizowała aż 6 kart – 2 dorzucone oraz 4 pozostałe blotki kierowe (są u E, bo W nie dodał do koloru).

Grajmy jednak dalej...

Po sześciu zgranych lewach (po 2 w każdych niepikach) okazało się, że W miał 8 trefli (bo E miał singla) i po singlu czerwonym. Oznacza to że 3 piki ma na 100% ! Tymczasem w tabeli dla „po sześciu lewach” znajdujemy prawdopodobieństwo podziału 3–1 równe zaledwie 24.47%.

Wiemy już skąd się wzięła ta koszmarna niezgodność. Otóż drugie lewy kolorów niepikowych zlokalizowały u przeciwników:

kierowa – 6 kart
karowa – 5 kart
treflowa – 8 kart

podczas gdy w obliczeniach przyjęto, że zawsze ujawniane są 2.

Może więc poszerzyć tabele o przypadki w których ujawniane są więcej niż 2 karty?...

Oczywiście można to zrobić (aczkolwiek zamiast tabel otrzymamy wówczas pokaźną książkę), ale – z uwagi na pierwszą naszą wątpliwość (natury pryncypialnej) – wcale nie wiadomo czy będzie to dobre.

Pokażmy więc po prostu – jak należy liczyć prawidłowo.

* * *

Unieważniamy dotychczasowy przebieg rozgrywki i rozpoczynamy od nowa...

A W 10 9 8 10 9 A 10 9 8 A W	Aby wygrać te 7BA, należy „złapać Damę przy dziewięciu”. Przed rozpoczęciem rozgrywki optymalną strategią jest gra „z góry”, tj Król i następnie – w razie niejasności – As (oczywiście można zacząć od Asa). Szansa sukcesu wynosi 58%. Gracz–praktyk może paść ofiarą „pułapki statystycznej” i dojść do przekonania, że jednak lepsze jest impasowanie.
K 7 6 5 A K D W K D W K D

Przypuśćmy bowiem, że 1000 graczy na świecie staje codziennie przed kilkoma sytuacjami „łapanie damy przy dziewięciu”. Prawie połowie z nich wyjdzie, że dzisiaj „należało” impasować. Drugiego dnia to samo stwierdzi połowa tej połowy, a po 10 dniach zostanie jeden nieszczęśnik, któremu przytrafiało się to codziennie. Temu trudno będzie uzmysłowić sobie, że po prostu wygrał na loterji (w której ktoś przecież musiał wygrać). Przez dłuższy czas może być przekonany, że lepszy jest impas, ponieważ – „wykazała to praktyka".

Autor „Panta rhei” poświęcił spory fragment problemowi „łapanie damy przy dziewięciu” i też mu wyszło, że lepsza jest gra na impas. Nie był to jednak skutek pułapki statystycznej ani błędnego algorytmu liczenia tabelek, lecz zwykły lapsus. Po prostu podział „Dxxx – 0" zaliczył omyłkowo do przegrywających przy grze „z góry”. Jeśli to poprawimy, to gra górą bierze górę.

Aby pokazać zmienność szansy sukcesu przy grze „górą”, pociągnijmy rozgrywkę maxymalnie „do spodu” – zgrajmy wszystko bokiem oraz pikowego króla, wyjdźmy blotką pik, zaczekajmy aż W dołoży blotkę pikową – i policzmy szansę w tym ostatecznym momencie.

Niech będzie tak, że W ujawnił dotąd układ 2–4–4–2, a brakująca jedna karta to Dama Pik albo 3 Trefl albo 2 Trefl.

Jeśli dokładali losowo (co zresztą zakładamy od samego początku), to W miał jedną z trzech jednakowo prawdopodobnych rąk – to co ujawnił plus jedna karta ze zbioru: Dama Pikĺ 3 Trefl 2 Trefl. Ale – jednakowo prawdopodobne były przed rozpoczęciem rozgrywki, a od tego momentu zdarzyły się jeszcze zrzutki. Były takie jak były, a mogły być inne (np mogli zachować 10 Trefl i 4 Trefl). Jaka jest szansa na zrzutki takie jak były ?

Aby być w zgodzie z rzeczywistością, musimy skorygować szanse a priori, obliczając dla każdej z trzech obecnie możliwych rąk prawdopodobieństwo, że WE zachowają do końca 3 Trefl i 2 Trefl.

A oto tabelka korekcyjna:

Ukryta karta W	Ilość rąk	:	Ilość wyborów		=	Szansa względna	Szansa bezwzględna
Dama Pik	1	:	21	*	=	1/21	30%
Trójka Trefl	1	:	18	**	=	1/18	35%
Dwójka Trefl	1	:	18	***	=	1/18	35%

*
Trefle dzieliły się tutaj 2–7. E zachował więc 2 spośród 7. Mógł to uczynić na 21 sposobów (wzór Newtona). Tyleż razy maleje więc szansa a priori na układ z Damą Pik.
**
Trefle dzieliły się 3–6. WE mieli więc łącznie 3 • 6 = 18 wyborów (bo każdy z nich wybrał po jednej blotce do zachowania na koniec).
***
Chyba wiadomo o co tutaj chodzi. Są to szanse względne przemnożone przez taką liczbę, że suma iloczynów wynosi 100.

Okazało się więc, że szansa sukcesu przy grze „z góry” wzrosła z początkowych 58% aż do 70%.

Oczywiście gdyby W ujawnił inny układ, to szansa mogłaby wyjść inna. A oto zestawienie do samodzielnego sprawdzenia:

Ujawniony układ W		Szansa sukcesy	* Efekciarstwo tabeli niezamierzone. Rachunek tak chciał. ** Oczywiście zagramy „na impas”, z szansą sukcesu = 60%.
Kiery	Kara	przy grze „z góry”
x x x x	x x x x	70 % *
x x x	x x x x	60 %
x x	x x x x	50 %
x	x x x x	40 % **

Według „Panta rhei” szansa sukcesu wyjdzie w każdym przypadku taka sama – niezależnie od np ujawnionego podziału kierów ! Nie jest to dziwne, ponieważ pod uwagę brana jest wyłącznie ilość zgranych lew.

To co zobaczyliśmy skłania nas do zwrócenia uwagi na bardzo ważną kwestię – jaka jest właściwie początkowa szansa wygrania tego kontraktu ?

Przecież apriorycznie wyliczone 58% odnosiło się do strategii „zawsze graj górą – król i as”, tj zakładało porażkę przy podziałach: Dxx – x x – Dxx 0 – Dxxx. Tymczasem może się zdarzyć że wywiad (tj zgranie wszystkich niepików) wykaże zaistnienie właśnie jednej z tych zaszłości. Albo na 100% (np gdy Î miał 1–2–1–9) albo na mniejszy %, ale przechylający szalę na korzyść impasu (w te lub wewte).

Oznacza to, że początkowa szansa sukcesu jest nieco większa niż 58%! a optymalna strategia nie sprowadza się zawsze do końcowego zagrania górą.

Obliczenie tego „nieco” – nawet w tak prostym problemie – jest jednak bardzo trudne i żmudne.

13 Stycznia 2005

Problem ten Pikier opublikował jako Zadanie 1. Nadesłano aż 5 wyliczeń.

Ostatecznie szansa = 68.62%. Wzrosła więc ponad „aprioryczne” 58% b.znacznie.

* * *

W dotychczasowych rozgrywkach przeciwnicy nie zawsze dodawali do koloru, więc może... może obliczenia zaprezentowane w „Panta rhei” są poprawne gdy przeciwnicy stale dodają? ...

Zauważmy jednak, że w algorytmie obliczeń wogóle nie ma mowy o kwestii dodania bądź niedodania do koloru. Oznacza to, że tabelki są tak samo prawdziwe dla tego brydża w którego gramy jak i dla brydża bez obowiązku dodawania do koloru (tak!). Wprawdzie to samo dotyczy tabelek a priori, ale tam to było zrozumiałe (bo jeszcze nie zaczęto rozgrywki). Tu natomiast – nieistotność obowiązku dodawania dla szans po kilku lewach jest niezwykle dziwna.

Rozważmy więc rozdanie w którym WE będą dodawać do koloru...

W 10 A K D W A K D W 10 9 8	Z pozycji S gramy 7BA po wyjściu w piki. Zgraliśmy po 3 lewy w pikach, kierach i karach, przy czym – WE przez cały czas dodawali do koloru. W 4–kartowej końcówce sytuacja jest następująca: Kara: dzieliły się 3–3 Kiery: dzieliły się 3 –3 Piki: dzielą się 4–4 albo 5–2 (WE mają jeszcze dwa piki, dajmy na to 3 i 2) Trefle: dzielą się 3–3 albo 4–2 (inne podziały się nie mieszczą!)
A K D 10 9 8 10 9 8 A K D W

Jaka jest szansa podziału trefli 3 – 3 ?

WE mieli ręce należące do jednej z poniższych grup:

	ukryte karty WE		ilość		:	ilość		=	szansa	szansa
	W	E	rąk			wyborów			względna	bezwzględna
piki	x	x	40	*	:	16	***	=	40/16	45.46%
trefle	x x x	x x x
piki	3 2	–	30	**	:	10	****	=	30/10	54.54%
trefle	x x	x x x x
piki	–	3 2
trefle	x x x x	x x

*
2 kombinacje w pikach razy 20 (3 z 6) w treflach.
**

Każda podgrupa liczy tyle rąk na ile sposobów W mógł otrzymać podczas tasowania 4 blotki treflowe z 6 (czyli 15).
***

Każdy z przeciwników wybrał jedną z czterech blotek pikowych do zachowania na sam koniec. Łącznie mieli więc 16 wyborów.
****
W (względnie E) miał 5 pików. Dwie blotki pikowe do zachowania na sam koniec mógł więc wybrać na 10 sposobów (2 z 5).

Szansa podziału trefli 3–3 wynosi jak widać 45,46 %

Jest to rzeczywiście duży wzrost w stosunku do szansy a priori (35,52%), ale – trzeba pamiętać że wykluczone są obecnie podziały 5–1 i 6–0. Jeśli wykluczymy je także z a priori, to okaże się że szansa podziału 3 – 3 przed rozpoczęciem rogrywki wynosiła 42,31%.

A jak jest według obliczeń „Panta rhei” ?

Przede wszystkim – algorytm wogóle nie uwzględnia możliwości wykluczenia układów skrajnych wskutek rozgrywki wywiadowczej (co już wystarcza do jego deprecjacji). Dla ciekawości (ale tylko dlatego) można jednak policzyć szansę na 3–3 po 9 lewach z wykluczeniem jak wyżej. Wynosi ona: 40/(40+30) = 4/7 = 54%.

* * *

W „Panta rhei” jest więc całkowicie źle. Niezależnie od tego czy dodają czy nie dodają. Dlaczego ?

Bo wzięto pod uwagę tylko ilość zgranych lew, ignorując ujawniane informacje o układzie (a coś się zawsze ujawnia – nawet gdy stale dodają do koloru). Szczerze mówiąc już pierwsza wątpliwość (ta „natury pryncypialnej”) była dostatecznym dowodem błędności tabelek.

Problem do samodzielnej analizy:
A D W 10 9 8 W 10 A K D W 10	7 6 5 4 3 A K D 10 A K D W	Zgraliśmy wszystko poza pikami. Przeciwnicy cały czas dodawali do koloru.

A teraz – gdy zagadnienie zmienności szans zostało jako tako wyświetlone – muszę spełnić przykry obowiązek i wyraźnie stwierdzić że:

Artykuł „Panta rhei” jest niemal w całości zupełnie błędny.

A jednak wysiłek Autora „Panta rhei” nie poszedł całkiem na marne, bo problem zmienności szans był rzadko i powierzchownie poruszany, a szanse (i także ich proporcje) rzeczywiście zmieniają się podczas rozgrywki. Ujęcie tej zmienności dla potrzeb praktyki w tabele i precyzyjne reguły jest jednak – jak widzieliśmy – niewykonalne.

Muszę się przyznać, że ongiś dokonałem tego samego „odkrycia” co w „Panta rhei”. Napisałem z tego mały artykulik z tabelką szans na „złapanie damy przy dziewięciu”, z której wynikało, że im bardziej zwlekamy z rozegraniem koloru tym większa szansa sukcesu. Zaniepokojony tym paradoxem nawiązałem rozmowę z JKM (właśnie wychodził z turnieju) w której stwierdził, że policzyłem tak jakby przeciwnicy co lewę przetasowywali swoje karty. To mi wystarczyło.

Od tej pory porzuciłem problem przekonany, że szanse podziałów (a dokładniej: proporcje szans) nie zmieniają się – wyjąwszy przypadki wykluczeń po rozgrywce wywiadowczej. Był to oczywisty błąd logiczny. Fakt że zmienność w moim artykuliku była skutkiem błędu, nie implikował niezmienności szans, lecz – niezmienność ALBO zmienność „inaczej”.

Dopiero „Panta rhei” skłoniło mnie do głębszej analizy tego problemu, której wyniki niniejszym zaprezentowałem.

Szkoda tylko, że nie zrobiłem tego rok wcześmiej, kiedy Marek Peszke miał jeszcze szansę repliki.

Zbyt mało Go znałem, by wypadało mi teraz pisać o Nim coś obszerniejszego – pozostaję więc przy skromnym memoriale:

Marka Peszke pamiętam jako entuzjastę wielu dziedzin brydża, a szczególnie problemów organizacyjnych.

Pamiętam wielki turniej w Warszawie, w którym przed każdą sekcją wisiała tablica z jedną z liter brydżowych – W N E S. Po każdej niemal rundzie Marek Peszke zarządzał wymianę niektórych tablic i nakazywał sekcjom przekręcić pudełka tak, by ich położenie pasowało do nowej „strony świata”. Nie było to wcale zbyt kłopotliwe dla graczy, a zapewniało lepsze tzw „zrównoważenie turnieju” (chodzi o to by każda para porównywała się z jak największą ilością par pozostałych).

I pamiętam także jak 30 lat temu udało mi się awansować do Półfinału Indywidualnych Mistrzostw Polski (wtedy to było coś i dwóch wspólzawodników złożyło mi po Ćwierćfinale gratulacje). O miejscu i terminie Półfinału zostałem powiadomiony listownie (tak! w Warszawie!).

Niefrasobliwie spóźniłem się o 20 minut, i z przerażeniem i wstydem stwierdziłem, że wszyscy już siedzą i czekają właśnie na mnie. Sędzia – Marek Peszke – ograniczył się do uprzejmego wskazania mi miejsca i wręczenia pilotki, a trzy dni później przysłał mi list z pisemną naganą.

Poczułem głęboki szacunek.

( pierwodruk: „Przegląd brydżowy” 2–3/1985 )

PS 1998

Artykuł Marka Peszkego ukazał się z adnotacją:

Praca na zamówienie Wydziału Teorii PZBS (przyp. red.).

Ów Wydział Teorii był i jest kompletną fikcją, a jedynym przejawem jego „działania” jest doczepianie go przez A.O. do niektórych artykułów.

PS 2003

Okazuje śię, że podobny artykuł opublikował Marek Peszke już wcześniej, a mianowicie w 1–1990 w miesięczniku „Brydż” pt „Teoria względności”.

Błędna teza tego artykułu trafiła do Polskiej Encyklopedii Brydża w hasło „Sukcesywana ocena szans”. Jednak podane tam porównanie szans może być słuszne, ale uzasadnienie będzie inne.

Szansologia	Co nowego...	do Brydża
brydż, brydż, brydż, brydż, brydż, brydz, brydz, brydz, brydz, bridge, bridge, bridge, bridge, brydż sportowy, brydz sportowy, bridge sportowy, wist, Pikier, Łukasz, Lukasz, Sławiński, Slawinski, Łukasz Sławiński, Lukasz Slawinski, Czytaj, Czytaj!, piki, kiery, kara, trefle, pik, kier, karo, trefl, pas, atu, bez atu, kontra, rekontra