Zadanie 2 czyli
Sprawiedliwe rozliczenie
|
|
|
Czterej
gracze A B C D rozegrali turę, czyli 3 robry w różnych zestawieniach. Salda
końcowe = +96 –24 0 –72 ( odpowiednio: A B C D ). D może
zapłacić tylko 48. Jak mają
sprawiedliwie się rozliczyć ? |
10 Maja
2006
Rozwiązanie nadesłane 8 Marca 2006
przez Tomka Gogacza
Na początek kilka
rozważań filozoficznych. Mamy sprawiedliwie rozliczyć graczy, ale może najpierw
warto byłoby uczynić grę bardziej sprawiedliwą? Gdy gracze słabsi ograją
lepszych 20 punktami to chyba należy im się większa gratyfikacja niż w
przypadku, gdy 20 punktami wygrają lepsi.
Można by wprowadzić
pewien ranking, aby ustalić siłę graczy i na tej podstawie liczyć wyniki. Rozsądnie
byłoby założyć że różnice w rankingu (z braku innych sensownych możliwości)
odpowiadałyby różnicom w wygranych punktach. Zatem rankingi wynosiłyby
odpowiednio:
x+96 x–24
x x–72 gdzie x
to pewna, jeszcze nie określona, liczba.
Aby móc liczyć wygrane
kwoty, należy najpierw policzyć wygrane punkty w poszczególnych robrach. Jeśli
dodamy salda dwóch graczy i podzielimy wynik przez 2, to otrzymamy wynik robra
w którym grali razem, gdyż w robrach w których grali przeciw sobie suma
wyniesie zawsze 0. Zatem wyniosą one dla gracza D odpowiednio: AD = 12 BD = –48
CD = –36
Teraz
należałoby na podstawie tych liczb trzeba ułożyć pewien sposób rozliczeń, który
spełnia następujące warunki:
a) za
wygranie y punktów, więcej pieniędzy powinna dostać para o niższym rankingu
b) powinien
być symetryczny (licząc przegrane pieniądze jednej pary i wygrane drugiej
trzeba otrzymać tą samą kwotę )
c) przy
większej różnicy w rankingach para słabsza powinna być promowana bardziej
d) dobrze
byłoby, aby brano pod uwagę względną różnicę (kiedy rankingi wynoszą 50 i 100
– jedna para jest około 2 razy silniejsza, a kiedy 2050 i 2100 – pary są prawie
tej samej siły)
e) gracz
D powinien zapłacić 48
System
rozliczeń w którym (ABCD to rankingi odpowiednich
graczy):
Jeśli para AB wygra y
punktów to dostanie:
|
|
C + D |
• 2y |
|
(im z lepszą parą wygramy tym
więcej dostaniemy) |
|
|
A
+ B + C + D |
Jeśli natomiast para AB
przegra y to zapłaci:
|
|
A + B |
• 2y |
|
(im byliśmy silniejsi, tym więcej tracimy) |
|
|
A
+ B + C + D |
Taki system spełnia warunki
od a) do d).
Korzystając natomiast z
e) oraz poprzednio uzyskanych liczb i wzorów możemy ułożyć równanie:
|
|
2x–24 |
• (12) + |
2x–72 |
• (–36) + |
2x–96 |
• (–48) = –48 |
|
|
|
2x |
2x |
2x |
|
Po kilku prostych przekształceniach
otrzymujemy x = 144, zatem rankingi wynoszą:
A = 240 B = 120 C = 144 D = 72
a wyniki poszczególnych
robrów:
AD = 11 BD = –37 CD = –22
Ostatecznie wygrane/przegrane graczy wynoszą :
A =+70 B = –26 C = +4 D = –48
Tu przez dłuższy czas było C = –6. Oczywisty lapsus
rachunkowy Autora.
Dopiero teraz ( 20 V 2006) Pikier ją zauważył.
W tym miejscu należy
jeszcze dodać, że wartości dobrane przez autora zadania były na tyle dobre, że
wszystkie użyte w tym rozwiązaniu liczby były wartościami dokładnymi a nie
zaokrągleniami. Jest to metoda może trochę zakręcona, ale uważam, że sprawiedliwa.
|
10 Maja 2006 |
||||
|
brydż, brydz, bridge, brydż sportowy, brydz
sportowy, bridge sportowy, Pikier, Sławiński, Slawinski, Łukasz Sławiński,
Lukasz Slawinski, |
||||